AXIOMES DE PROBABILITAT: TIPUS, EXPLICACIÓ, EXEMPLES, EXERCICIS - DUDAS - 2025

Els axiomes de probabilitat són proposicions matemàtiques referents a la teoria de la probabilitat, que no mereixen demostració. Els axiomes van ser establerts en 1933 pel matemàtic rus Andrei Kolmogorov (1903-1987) en la seva obra Fonaments de la Teoria de la Probabilitat i van establir les bases de l'estudi matemàtic de la probabilitat.

A l'dur a terme un cert experiment aleatori ξ, l'espai mostral E és el amb juntament de tots els resultats possibles de l'experiment, anomenats també esdeveniments. Un esdeveniment qualsevol es denota com A i P (A) és la probabilitat que ocorri. Llavors Kolmogorov va establir que:

Figura 1. Els axiomes de probabilitat permeten calcular la probabilitat d'encertar en jocs d'atzar com la ruleta. Font: Pixabay.

- Axioma 1 (no negativitat): la probabilitat que ocorri qualsevol succés A sempre és positiva o zero, P (A) ≥0. Quan la probabilitat d'un succés és 0, se li crida esdeveniment impossible.

- Axioma 2 (certesa): sempre que algun esdeveniment que pertany a E, la seva probabilitat d'ocurrència és 1, la qual cosa podem expressar com P (E) = 1. És el que es coneix com un succés segur, ja que a l'realitzar un experiment, amb tota certesa hi ha un resultat.

- Axioma 3 (addició): en el cas de dos o més esdeveniments incompatibles dos a dos, anomenats A ₁, A ₂, A ₃…, la probabilitat que ocorri el succés A ₁ més el A ₂ més el A ₃ i així successivament, és la suma de les probabilitats que succeeixi cada un separadament.

Això s'expressa com: P (A ₁ UA ₂ UA ₃ U…) = P (A ₁) + P (A ₂) + P (A ₃) +…

Figura 2. El notable matemàtic rus Andrei Kolmogorov (1903-1987), qui va establir les bases de la probabilitat axiomàtica. Font: Wikimedia Commons.

exemple

Els axiomes de probabilitat s'utilitzen àmpliament en multitud d'aplicacions. Per exemple:

Es llança una xinxeta o tatxa a l'aire, i a l'caure a el pis hi ha l'opció de caure amb la punta cap amunt (O) o amb la punta cap avall (D) (no considerarem altres possibilitats). L'espai mostral d'aquest experiment consta d'aquests esdeveniments, després E = {O, D}.

Figura 3. En l'experiment de llançar la tatxa hi ha dos successos de diferents probabilitats: caure amb la punta cap amunt o cap al pis. Font: Pixabay.

A l'aplicar els axiomes tenim:

Si és igualment probable que caigui amb la punta cap amunt o cap avall, P (U) = P (D) = ½ (Axioma 1). No obstant això, pot ser que per la construcció i el disseny de la xinxeta sigui més probable que caigui d'una manera o d'una altra. Per exemple, pot ser que P (U) = ¾ mentre que P (D) = ¼ (Axioma 1).

Cal notar que en tots dos casos, la suma de les probabilitats dóna 1. No obstant això, els axiomes no indiquen la manera d'assignar les probabilitats, al menys no completament. Però sí afirmen que són nombres compresos entre 0 i 1 i que, tal com passa en aquest cas, la suma de totes es 1.

Formes d'assignar la probabilitat

Els axiomes de probabilitat no constitueixen un mètode d'assignar el valor de la probabilitat. Per això hi ha tres opcions que són compatibles amb els axiomes:

Regla de Laplace

A cada esdeveniment se li assigna la mateixa probabilitat de succeir, llavors es defineix la probabilitat d'ocurrència com:

Per exemple, quina és la probabilitat d'extreure un as d'un mall de cartes franceses? El mall té 52 cartes, 13 de cada pal i són 4 pals. Cada pal té 1 es, de manera que en total són 4 asos:

P (es) = 4/52 = 1/13

La regla de Laplace està limitada a espais mostrals finits, on cada esdeveniment és igualment probable.

freqüència relativa

Aquí l'experiment ha de ser repetible, ja que el mètode es fonamenta en realitzar un gran nombre de repeticions.

Fem i repeticions de l'experiment ξ, de el qual trobem que n és el nombre de vegades que ocorre determinat esdeveniment A, llavors la probabilitat que aquest esdeveniment ocorri és:

P (A) = lim _{i → ∞} (n / i)

On n / i és la freqüència relativa d'un succés.

Definir P (A) d'aquesta manera satisfà els axiomes de Kolmogorov, però té l'inconvenient que cal realitzar moltes proves perquè la probabilitat sigui apropiada.

mètode subjectiu

Una persona o un grup de persones poden acordar en assignar la probabilitat a un succés, mitjançant els seus propis judicis. Aquest mètode té el desavantatge que diferents persones poden assignar probabilitats diferents a un mateix esdeveniment.

exercici resolt

En l'experiment de llançar simultàniament 3 monedes honrades, obtenir les probabilitats dels esdeveniments descrits:

a) 2 cares i una creu.

b) 1 cara i dues creus

c) 3 creus.

d) A l'mínim 1 cara.

solució a

Les cares es denoten amb C i les creus amb X. Però hi ha diverses maneres d'obtenir dues cares i una creu. Per exemple, les dues primeres monedes poden caure amb cara i la tercera amb creu. O la primera pot caure cara, la segona creu i la tercera cara. I finalment la primera pot ser creu i les restants cares.

Per respondre a les preguntes cal conèixer totes les possibilitats, les quals es descriuen en una eina anomenada diagrama d'arbre o arbre de probabilitats:

Figura 4. Diagrama d'arbre per al llançament simultani de tres monedes honestes. Font: F. Zapata.

La probabilitat que en una moneda qualsevol surti cara és ½, el mateix succeeix per a les creus, ja que la moneda és honesta. A la columna de la dreta estan llistades totes les possibilitats que té el llançament, és a dir, l'espai mostral.

De l'espai mostral s'escullen les combinacions que responguin a el succés demanat, ja que l'ordre en què apareixen les cares no és important. Hi ha tres esdeveniments favorables: CCX, CXC i XCC. La probabilitat que succeeixi cada esdeveniment és:

P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8

Igual succeeix per als esdeveniments CXC i XCC, cada un té 1/8 de probabilitat de succeir. Per tant la probabilitat d'obtenir exactament 2 cares és la suma de les probabilitats de tots els esdeveniments favorables:

P (2 cares) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0.375

solució b

Trobar la probabilitat que es donin exactament dues creus és un problema anàleg a l'anterior, també hi ha tres esdeveniments favorables presos de l'espai mostral: CXX, XCX i XXC. Per tant:

P (2 creus) = 3/8 = 0.375

solució c

Intuïtivament sabem que la probabilitat d'obtenir 3 creus (o 3 cares) és menor. En aquest cas l'esdeveniment buscat és XXX, a la fi de la columna dreta, la probabilitat és:

P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0.125.

solució d

Es demana obtenir al menys 1 cara, això significa que poden sortir 3 cares, 2 cares o 1 cara. L'únic esdeveniment incompatible amb això és aquell en què surten 3 creus, la probabilitat és 0.125. Per tant la probabilitat buscada és:

P (al menys 1 cara) = 1 - 0.125 = 0.875.

referències

1. Canavos, G. 1988. Probabilitat i Estadística: Aplicacions i mètodes. McGraw Hill.
2. Devori, J. 2012. Probability and Statistics for Engineering and Science. 8th. Edition. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Sèrie Schaum: Probabilitat. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989.Teoría de la probabilitat. Editorial Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Probabilitat i Estadística per Enginyeria i Ciències. Pearson.