APARELL FACTORIAL: DEFINICIÓ, FÓRMULES I EXERCICIS - FÍSICA - 2025

L' aparell factorial és una màquina simple que consta d'un arranjament de politges amb un efecte multiplicador de la força. D'aquesta manera es pot aixecar una càrrega aplicant tot just l'equivalent a una fracció de l'pes sobre l'extrem lliure de la corda.

Consta de dos conjunts de politges: un que està fix a un suport i un altre que exerceix la força resultant sobre la càrrega. Les politges estan muntades sobre una armadura generalment metàl·lic que les subjecta.

Figura 1. Esquema d'un aparell factorial. Font: Pixabay

La figura 1 mostra un aparell factorial que consta de dos grups de dos politges cadascun. A aquest tipus d'arranjaments de politges també se'ls denomina aparell en sèrie o polispasts.

Fórmules per l'aparell factorial

Cas 1: Una corriola mòbil i una fixa

Per entendre per què aquest acord multiplica la força exercida, començarem amb el cas més senzill, que consta d'una politja fixa i una altra mòbil.

Figura 2. Aparell de dues politges.

A la figura 2 tenim una politja A fixa a l'sostre mitjançant un suport. La politja A pot rotar lliurement al voltant del seu eix. També tenim una politja B que té un suport fixat a l'eix de la politja, en el qual es col·loca la càrrega. La politja B, a més de poder rotar lliurement al voltant del seu eix, té la possibilitat de traslladar-verticalment.

Suposem que estem en una situació d'equilibri. Considerem les forces que actuen sobre la politja B. L'eix de la politja B suporta un pes total P que va dirigit cap avall. Si aquesta fos l'única força sobre la politja B llavors cauria, però sabem que la corda que passa a través d'aquesta politja exerceix també dues forces, que són les T1 i T2 que van dirigides cap amunt.

Perquè hi hagi equilibri translacional, les dues forces cap amunt han de ser iguals a el pes que suporta l'eix de la politja B.

T1 + T2 = P

Però com la politja B també està en equilibri rotacional, llavors T1 = T2. Les forces T1 i T2 provenen de la tensió aplicada a la corda, anomenada T.

Per tant T1 = T2 = T. Substituint en l'equació anterior queda:

T + T = P

2T = P

El que indica que la tensió aplicada a la corda és tot just la meitat de l'pes:

T = P / 2

Per exemple, si la càrrega fos de 100 kg n'hi hauria prou amb aplicar una força de 50 kg en l'extrem lliure de la corda per pujar la càrrega a velocitat constant.

Cas 2: Dues politges mòbils i dues fixes

Passem a considerar les tensions i forces que actuen sobre un conjunt que consta de dues arranjaments de suports A i B amb dos politges cadascun.

Figura 3. Forces sobre un aparell de 2 politges fixes i 2 politges mòbils.

El suport B té la possibilitat de traslladar-verticalment, i les forces que actuen sobre el són:

- El pes P de la càrrega, que apunta verticalment cap avall.

- Dues tensions sobre la politja gran i dues tensions sobre la politja petita. En total, quatre tensions, totes elles apuntant cap amunt.

Perquè hi hagi equilibri translacional cal que les forces que apunten verticalment cap amunt igualin en valor a la càrrega que apunta cap avall. És a dir, que s'ha de complir:

T + T + T + T = P

És a dir, 4 T = P

D'on es dedueix que la força aplicada T en l'extrem lliure de la corda és tot just la quarta part de l'pes a causa de la càrrega que vol elevar-se., T = P / 4.

Amb aquest valor per a la tensió T, la càrrega pot mantenir-estàtica o pujar amb velocitat constant. Si s'apliqués una tensió més gran que aquest valor llavors la càrrega s'acceleraria cap amunt, condició que és necessària per a treure-la de l'repòs.

Cas general: n politges mòbils i n politges fixes

D'acord amb el que s'ha vist en els casos anteriors, per cada politja de el conjunt mòbil hi ha un parell de forces cap amunt exercides per la corda que passa per la politja. Però aquesta força no pot ser altra cosa que la tensió aplicada a la corda en l'extrem lliure.

De manera que per cada politja de el conjunt mòbil hi haurà una força vertical cap amunt que val 2T. Però com hi ha n politges en el conjunt mòbil, es té llavors que la força total que apunta verticalment cap amunt és:

2 n T

Perquè hi hagi equilibri vertical és necessari que:

2 n T = P

per tant la força aplicada en l'extrem lliure és:

T = P / (2 n)

En aquest cas es pot dir que la força exercida T es multiplica 2 n vegades sobre la càrrega.

Per exemple, si tinguéssim un aparell factorial de 3 politges fixa i 3 mòbils, el nombre n seria igual a 3. D'altra banda, si la càrrega fos P = 120 kg, llavors la força aplicada en l'extrem lliure seria T = 120 kg / (2 * 3) = 20 kg.

exercicis resolts

exercici 1

Consideri un aparell factorial compost per dues politges fixes i dues politges mòbils. La màxima tensió que pot suportar la corda és de 60 kg. Determineu quina és la màxima càrrega que pot col·locar-se.

solució

Quan la càrrega està en repòs o movent-se amb rapidesa constant el pes P de la mateixa, es relaciona amb la tensió T aplicada a la corda per mitjà de la següent relació:

P = 2 n T

Com es tracta d'un aparell de dues politges mòbils i dues fixes, llavors n = 2.

La màxima càrrega que pot col·locar-se s'obté quan T tingui el màxim valor possible, que en aquest cas és 60 kg.

Càrrega màxima = 2 * 2 * 60 kg = 240 kg

exercici 2

Trobeu la relació entre la tensió de la corda i el pes de la càrrega, en un aparell factorial de dos politges en el qual la càrrega s'accelera amb acceleració a.

solució

La diferència d'aquest exemple pel que fa al vist fins ara és que cal considerar la dinàmica de sistema. Pel que plantegem la segona llei de Newton per trobar la relació demanada.

Figura 4. Dinàmica de l'aparell factorial.

A la figura 4 dibuixem en color groc les forces degudes a la tensió T de la corda. La part mòbil de l'aparell té una massa total M. Prenem com a sistema de referència un a nivell de la primera politja fixa i positiu cap avall.

Y1 és la posició de l'eix de la politja més baixa.

Apliquem la segona llei de Newton per determinar l'acceleració a1 de la part mòbil de l'aparell:

-4 T + Mg = M a1

Com el pes de la càrrega és P = Mg, on g és l'acceleració de gravetat, la relació anterior es pot escriure:

-4T + P = P (a1 / g)

Si volguéssim determinar la tensió aplicada a la corda quan una certa càrrega de pes P s'accelera amb acceleració a1, llavors la relació anterior quedaria així:

T = P (1 - a1 / g) / 4

Cal notar que si el sistema estigués en repòs o movent-se amb rapidesa constant, llavors a1 = 0, i recuperaíamos la mateixa expressió que vam obtenir en el cas 2.

exercici 3

En aquest exemple es fa servir el mateix aparell de l'exercici 1, amb la mateixa corda que suporta com a màxim 60 kg de tensió. Certa càrrega s'eleva, accelerant-des del repòs fins a 1 m / s en 0,5 s, usant la màxima tensió de la corda. Trobi el pes màxim de la càrrega.

solució

Farem servir les expressions obtingudes en l'exercici 2 i el sistema de referència de la figura 4 en la qual la direcció positiva és vertical cap avall.

L'acceleració de la càrrega és a1 = (-1 m / s - 0 m / s) / 0,5 s = -2 m / s ^ 2.

El pes de la càrrega en quilogram-força està donat per

P = 4 T / (1 - a1 / g)

P = 4 * 60 kg / (1 + 2 / 9.8) = 199,3 kg

Aquest és el pes màxim possible de la càrrega sense que la corda es trenqui. Cal notar que el valor obtingut és menor que l'obtingut en l'exemple 1, en el que la càrrega es suposava amb acceleració zero, és a dir, en repòs o amb velocitat constant.

referències

1. Sears, Zemansky. 2016. University Physics with Modern Physics. 14th. Ed. Volume 1. 101-120.
2. Resnick, R. (1999). Física. Vol. 1. 3 ra Ed. En espanyol. Companyia Editorial Continental SA de CV 87-103.
3. Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. 6th. Ed. Prentice Hall. 72-96.
4. Hewitt, Paul. 2012. Conceptual Physical Science. 5th. Ed. Pearson.38-61.
5. Serway, R., Jewett, J. (2008). Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 1. 7dt. Ed. Cengage Learning. 100-119.