- aplicacions
- Notació i representacions de vectors en 3D
- Angles i cosinus directors d'un vector
- exercicis resolts
- -Exercici 1
- solució
- -Exercici 2
- solució
- Pas 1: Trobar les coordenades de tots els punts
- Pas 2: Trobar els vectors en cada direcció restant les coordenades de al final i de l'inici
- Pas 3: Calcular mòduls i vectors unitaris
- Pas 4: Expressar totes les tensions com a vectors
- Pas 5: Aplicar la condició d'equilibri estàtic i resoldre el sistema d'equacions
- referències
Un vector en l'espai és tot aquell representat mitjançant un sistema de coordenades donat per x, yiz. Gairebé sempre el pla xy és el pla de la superfície horitzontal i l'eix z representa l'altura (o profunditat).
Els eixos de coordenades cartesians mostrats a la figura 1, divideixen a l'espai en 8 regions denominades octants, anàloga a com els eixos x - i divideixen a el plànol en 4 quadrants. Tindrem llavors 1er octant, 2on octant i així successivament.
Figura 1. Un vector en l'espai. Font: elaboració pròpia.
La figura 1 conté una representació d'un vector v en l'espai. Es requereix una mica de perspectiva per crear la il·lusió de tres dimensions sobre el pla de la pantalla, que s'aconsegueix dibuixant una vista obliqua.
Per graficar un vector 3D cal ajudar-se de les línies de punts que determinen sobre la quadrícula les coordenades de la projecció o "ombra" de v sobre la superfície xi. Aquesta projecció comença a O i acaba en el punt verd.
Un cop allà cal seguir per la vertical fins a l'alçada (o profunditat) necessària segons el valor de z, fins arribar a P. El vector es dibuixa partint d'O i acabant en P, que en l'exemple està en el 1er octant.
aplicacions
Els vectors en l'espai són extensament utilitzats en mecànica i altres branques de la física i l'enginyeria, ja que les estructures que ens envolten requereixen de la geometria en les tres dimensions.
Els vectors de posició en l'espai s'usen per posicionar objectes respecte a un punt de referència anomenat origen O. Per això també són eines necessàries en la navegació, però això no és tot.
Les forces que actuen sobre estructures com perns, suports, cables, puntals i més són de naturalesa vectorial i estan orientades en l'espai. Amb la finalitat de conèixer el seu efecte, cal saber la seva adreça (i també el seu punt d'aplicació).
I freqüentment la direcció d'una força es té coneixent dos punts en l'espai que pertanyin a la seva línia d'acció. D'aquesta manera la força és:
F = F o
On F és la magnitud o mòdul de la força i o és el vector unitari (de mòdul 1) dirigit al llarg de la línia d'acció de F.
Notació i representacions de vectors en 3D
Abans de passar a resoldre alguns exemples, es repassarà breument la notació de vectors en 3D.
En l'exemple de la figura 1, el vector v, el punt d'origen coincideix amb l'origen O i el final és el punt P, té coordenades xyz positives, mentre que la coordenada i és negativa. Aquestes coordenades són: x 1, i 1, z 1, les quals són precisament les coordenades de P.
De manera que si tenim un vector lligat a l'origen, és a dir, el punt d'inici coincideix amb O, és molt senzill indicar les seves coordenades, les quals seran les del punt extrem o P. Per distingir entre un punt i un vector, utilitzarem per els últims lletres negretes i claudàtors, així:
v = <x 1, i 1, z 1 >
Mentre que el punt P es denota amb parèntesis:
P = (x 1, i 1, z 1)
Una altra representació fa ús dels vectors unitaris i, j i k que defineixen les tres direccions de l'espai en els eixos x, yiz respectivament.
Aquests vectors són perpendiculars entre si i conformen una base ortonormal (veure figura 2). Això significa que un vector en 3D pot escriure en termes d'ells com:
v = v x i + v i j + v z k
Angles i cosinus directors d'un vector
A la figura 2 es mostren a més els angles directors γ 1, γ 2 i γ 3 que el vector v fa respectivament amb els eixos x, yiz. Coneixent aquests angles i la magnitud de el vector, aquest queda completament determinat. A més, els cosinus dels angles directors compleixen la següent relació:
(cos γ 1) 2 + (cos γ 2) 2 + (cos γ 3) 2 = 1
Figura 2. Els vectors unitaris i, j i k determinen les 3 direccions preferencials de l'espai. Font: elaboració pròpia.
exercicis resolts
-Exercici 1
A la figura 2 els angles γ 1, γ 2 i γ 3 que el vector v de mòdul 50 forma amb els eixos coordenats són respectivament: 75.0º, 60.0º i 34.3è. Trobi les components cartesianes d'aquest vector i Representeu en termes dels vectors unitaris i, j i k.
solució
La projecció de el vector v sobre l'eix x és v x = 50. cos 75º = 12.941. De la mateixa manera la projecció de v sobre l'eix i és v i = 50 cos 60º = 25 i finalment sobre l'eix z és v z = 50. cos 34.3è = 41.3. Ara v pot expressar-se com:
v = 12.9 i + 25.0 j + 41.3 k
-Exercici 2
Trobar les tensions en cada un dels cables que subjecten a la galleda de la figura que està en equilibri, si el pes d'aquest és de 30 N.
Figura 3. Diagrama de tensions per a l'exercici 2.
solució
Sobre la galleda, el diagrama de cos lliure indica que T D (verd) compensa a el pes W (groc), per tant T D = W = 30 N.
En el nus, el vector T D està dirigit verticalment cap avall, després:
T D = 30 (- k) N.
Per establir les tensions restants cal seguir els següents passos:
Pas 1: Trobar les coordenades de tots els punts
A = (4.5; 0; 3) (A està sobre el pla de la paret xz)
B = (1.5; 0; 0) (B està sobre l'eix x)
C = (0, 2.5, 3) (C està sobre el pla de la paret iz)
D = (1.5; 1.5; 0) (D està sobre el pla horitzontal xi)
Pas 2: Trobar els vectors en cada direcció restant les coordenades de al final i de l'inici
DA = <3; -1.5; 3>
DC = <-1.5; 1; 3>
DB = <0; -1.5; 0>
Pas 3: Calcular mòduls i vectors unitaris
Un vector unitari s'obté mitjançant l'expressió: o = r / r, amb r (en negreta) sent el vector r (sense negreta) el mòdul d'aquest vector.
DA = (3 2 + (-1.5) 2 +3 2) ½ = 4.5; DC = ((-1.5) 2 +1 2 +3 2) ½ = 3.5
o DA = <3; -1.5; 3> 4.5 = <0.67; -0.33; 0.67>
o DC = <-1.5; 1; 3> 3.5 = <-0.43; 0.29; 0.86>
o DB = <0; -1; 0>
o D = <0; 0; -1>
Pas 4: Expressar totes les tensions com a vectors
T DA = T DA o DA = T DA <0.67; -0.33; 0.67>
T DC = T DC o DC = T DC <-0.43; 0.29; 0.86>
T DB = T DB o DB = T DB <0; -1; 0>
T D = 30 <0; 0; -1>
Pas 5: Aplicar la condició d'equilibri estàtic i resoldre el sistema d'equacions
Finalment s'aplica la condició d'equilibri estàtic a la galleda, de manera que la suma vectorial de totes les forces sobre el nus sigui nul·la:
T DA + T DC + T DB + T D = 0
Com les tensions estan en l'espai, donarà lloc a un sistema de tres equacions per a cada component (x, yiz) de les tensions.
0.67 T DA -0.43 T DC + 0 T DB = 0
-0.33 T DA + 0.29 T DC - T DB = 0
0.67 T DA + 0.86 T DC + 0 T DB - 30 = 0
La solució és: T DA = 14.9 N; T DA = 23.3 N; T DB = 1.82 N
referències
- Bedford, 2000. A. Mecànica per a Enginyeria: Estàtica. Addison Wesley. 38-52.
- Figueroa, D. Sèrie: Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 1. Cinemática.31-68.
- Física. Mòdul 8: Vectors. Recobrat de: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Mecànica per a Enginyers. Estàtica. 6ta Edició. Companyia Editorial Continental. 15-53.
- Vector Addition Calculator. Recobrat de: 1728.org