- Fórmules i equacions de el tir parabòlic
- - Trajectòria, alçada màxima, temps màxim i abast horitzontal
- trajectòria
- alçada màxima
- temps màxim
- Abast horitzontal màxim i temps de vol
- Exemples de tir parabòlic
- Tir parabòlic en activitats humanes
- El tir parabòlic en la naturalesa
- exercici
- solució a
- solució c
- referències
El tir parabòlic consisteix a llançar un objecte o projectil amb cert angle i deixar que es mogui sota l'acció de la gravetat. Si no es considera la resistència de l'aire, l'objecte, sense importar la seva naturalesa, seguirà una trajectòria en forma d'arc de paràbola.
Es tracta d'un moviment quotidià, ja que entre els esports més populars hi ha aquells en què es llancen pilotes o pilotes, ja sigui amb la mà, amb el peu o amb algun instrument com una raqueta o un bat per exemple.
Figura 1. El raig d'aigua de la font ornamental segueix una trajectòria parabòlica. Font: Wikimedia Commons. Zátonyi Sándor (IFJ.), Fizped / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)
Per al seu estudi, el tir parabòlic es desglossa en dos moviments superposats: un horitzontal sense acceleració, i l'altre vertical amb acceleració constant cap avall, que és la gravetat. Tots dos moviments posseeixen velocitat inicial.
Diguem que el moviment horitzontal transcorre al llarg de l'eix xi el vertical al llarg de l'eix i. Cadascun d'aquests moviments és independent de l'altre.
En vista que determinar la posició de l'projectil és el principal objectius, cal escollir un sistema de referència apropiat. Els detalls vénen a continuació.
Fórmules i equacions de el tir parabòlic
Suposem que l'objecte es llança amb angle α respecte a l'horitzontal i velocitat inicial v o com es mostra a la figura de baix a l'esquerra. El tir parabòlic és un moviment que transcorre sobre el pla xy i en aquest cas la velocitat inicial es descompon així:
Figura 2. A l'esquerra la velocitat inicial de l'projectil ia la dreta la posició en qualsevol instant de el llançament. Font: Wikimedia Commons. Zátonyi Sándor, (IFJ.) Fizped / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).
La posició de l'projectil, que és el punt vermell a la figura 2, imatge dreta, també té dos components que depenen de el temps, una a xi l'altre a i. La posició és un vector a què es denota com r i les seves unitats són de longitud.
A la figura, la posició inicial de l'projectil coincideix amb l'origen de sistema de coordenades, per tant x o = 0, i o = 0. No sempre passa així, es pot escollir l'origen en qualsevol part, però aquesta elecció simplifica molt els càlculs.
Pel que fa als dos moviments en xi en i, aquests són:
-x (t): és un moviment rectilini uniforme.
-i (t): correspon a un moviment rectilini uniformement accelerat amb g = 9.8 m / s 2 i apuntant verticalment cap avall.
En forma matemàtica:
El vector de posició queda:
r (t) = i + j
En aquestes equacions el lector atent notarà que el signe menys es deu al fet que la gravetat apunta cap a terra, el sentit triat com a negatiu, mentre que cap amunt es pren com a positiu.
Atès que la velocitat és la primera derivada de la posició, només cal derivar r (t) respecte a el temps i obtenir:
v (t) = v o cos α i + (v o.sen α - gt) j
Finalment l'acceleració s'expressa vectorialment com:
a (t) = -g j
- Trajectòria, alçada màxima, temps màxim i abast horitzontal
trajectòria
Per trobar l'equació explícita de la trajectòria, que és la corba i (x), cal eliminar el paràmetre temps, aclarint en l'equació per x (t) i substituint en i (t). La simplificació és un tant laboriosa, però finalment s'obté:
alçada màxima
L'alçada màxima ocorre quan v i = 0. Sabent que hi ha la següent relació entre posició i el quadrat de la velocitat:
Figura 3. La velocitat en el tir parabòlic. Font: Giambattista, A. Physics.
Fent v i = 0 just a l'arribar a l'alçada màxima:
amb:
temps màxim
El temps màxim és el temps que l'objecte demora en arribar ai màx. Per calcular-s'utilitza:
Sabent que v i es fa 0 quan t = t màx, resulta:
Abast horitzontal màxim i temps de vol
L'abast és molt important, perquè assenyala on caurà l'objecte. Així sabrem si dóna o no en el blanc. Per trobar-necessitem el temps de vol, temps total ot v.
De la il·lustració anterior és fàcil concloure que t v = 2.t màx. Però atención! només és veritat si el llançament és a nivell, és a dir, l'alçada de punt de partida és la mateixa que l'altura de l'arribada. En cas contrari el temps es troba resolent l'equació de segon grau que resulta de substituir la posició final i final:
En tot cas l'abast horitzontal màxim és:
Exemples de tir parabòlic
El tir parabòlic forma part de el moviment de persones i animals. També de gairebé tots els esports i els jocs on la gravetat intervé. Per exemple:
Tir parabòlic en activitats humanes
-La pedra llançada per una catapulta.
-El servei de meta de l'porter.
-La pilota que llança el pitcher.
-La fletxa que surt de l'arc.
-Tot tipus de salts
-Lanzar una pedra amb una fona.
Qualsevol arma llancívola.
Figura 4. La pedra llançada per la catapulta i la pilota patejat en servei de meta són exemples de tirs parabòlics. Font: Wikimedia Commons.
El tir parabòlic en la naturalesa
-El aigua que brolla dels dolls naturals o artificials com els d'una font.
-Pedres i renta brollant d'un volcà.
-Una pilota que rebota en el paviment o una pedra que ho fa sobre l'aigua.
-Tota classe d'animals que salten: cangurs, dofins, gaseles, felins, granotes, conills o insectes, per esmentar uns pocs.
Figura 5. L'impala és capaç de saltar fins a 3 m. Font: Wikimedia Commons. Arturo de Frias Marques / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).
exercici
Un llagosta salta formant angle de 55 º amb l'horitzontal i aterra a 0.80 metres més endavant. trobar:
a) L'altura màxima assolida.
b) Si saltés amb aquesta velocitat inicial, però formant angle de 45º, arribaria més alt?
c) Què es pot dir de l'abast horitzontal màxim per a aquest angle?
solució a
Quan les dades subministrades pel problema no contenen la velocitat inicial v o els càlculs són una mica més laboriosos, però a partir de les equacions conegudes, es pot deduir una nova expressió. Partint de:
Quan aterra més endavant, l'alçada torna a ser 0, llavors:
Com t v és factor comú, es simplifica:
Podem aclarir t v de la primera equació:
I substituir en la segona:
A l'multiplicar tots els termes per v o.cos α l'expressió no s'altera i el denominador desapareix:
Ja pot aclarir-v o o també substituir la següent identitat:
sin 2α = 2 sin α. cos α → v o 2 sin 2α = gx màx
Es calcula v o 2:
La llagosta se les arregla per mantenir la mateixa velocitat horitzontal, però a l'disminuir l'angle:
Aconsegueix una alçada menor.
solució c
L'abast màxim horitzontal és:
A l'variar l'angle també canvia l'abast horitzontal:
x màx = 8.34 sin 90 / 9.8 m = 0.851 m = 85.1 cm
El salt és més llarg ara. El lector pot comprovar que és màxim per a l'angle de 45º doncs:
sin 2α = sin 90 = 1.
referències
- Figueroa, D. 2005. Sèrie: Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 1. Cinemàtica. Editat per Douglas Figueroa (USB).
- Giambattista, A. 2010. Physics. Second Edition. McGraw Hill.
- Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. 6th. Ed Prentice Hall.
- Resnick, R. 1999. Física. Vol. 1. 3ra Ed. En espanyol. Companyia Editorial Continental SA de CV
- Sears, Zemansky. 2016. University Physics with Modern Physics. 14th. Ed. Volume 1.