TEOREMA DE STEINER: EXPLICACIÓ, APLICACIONS, EXERCICIS - FÍSICA - 2025

El teorema de Steiner, també conegut com teorema dels eixos paral·lels, permet avaluar el moment d'inèrcia d'un cos estès, al voltant d'un eix que sigui paral·lel a un altre que passi pel centre de massa de l'objecte.

Va ser descobert pel matemàtic suís Jakob Steiner (1796 -1863) i afirma el següent: sigui I _CM el moment d'inèrcia de l'objecte respecte a un eix que passa pel seu centre de masses CM i I _z el moment d'inèrcia respecte a un altre eix paral·lel a aquest.

Figura 1. Una porta rectangular girant sobre els seus golfos té un moment d'inèrcia que es pot calcular aplicant el teorema de Steiner. Font: Pixabay.

Coneguda la distància D que separa els dos eixos i la massa M de el cos en qüestió, el moment d'inèrcia respecte a l'eix incògnit és:

El moment d'inèrcia indica cuan fàcil és per a un objecte d'rotar al voltant de cert eix. Depèn no només de la massa de el cos, sinó de com aquesta es distribueix. Per aquest motiu l'hi coneix també com inèrcia rotacional, sent les seves unitats en el Sistema Internacional Kg. m ².

El teorema mostra que el moment d'inèrcia I _z sempre és més gran que el moment d'inèrcia I _CM en una quantitat donada per MD ².

aplicacions

Com un objecte és capaç de rotar al voltant de nombrosos eixos, i en les taules en general es dóna solament el moment d'inèrcia respecte a l'eix que passa pel centroide, el teorema de Steiner facilita el càlcul quan es necessita fer girar cossos sobre eixos que no coincideixen amb aquest.

Per exemple, una porta comunament no gira al voltant d'un eix que passi pel seu centre de masses, sinó respecte a un eix lateral, on s'adhereixen les frontisses.

A el conèixer el moment d'inèrcia és possible calcular l'energia cinètica associada a la rotació sobre aquest eix. Si K és l'energia cinètica, I el moment d'inèrcia al voltant de l'eix en qüestió i ω la velocitat angular, es compleix que:

Aquesta equació s'assembla molt a la molt familiar fórmula de l'energia cinètica per a un objecte de massa M movent-se a velocitat v: K = ½ Mv ². I és que el moment d'inèrcia o inèrcia rotacional I exerceix en la rotació el mateix paper que la massa M a la translació.

Demostració de l'teorema de Steiner

El moment d'inèrcia d'un objecte estès es defineix com:

I = ∫ r ² dm

On dm és una porció infinitesimal de massa i r és la distància entre dm i l'eix de rotació z. A la figura 2 aquest eix travessa a el centre de massa CM, però pot ser qualsevol.

Figura 2. Un objecte estès en rotació al voltant de dos eixos paral·lels. Font: F. Zapata.

Al voltant d'un altre eix z ', el moment d'inèrcia és:

I _z = ∫ (r ') ² dm

Ara bé, d'acord el triangle format pels vectors D, r i r ' (veure figura 2 a la dreta), hi ha una suma vectorial:

r + r ' = D → r' = D - r

Els tres vectors es troben sobre el pla de l'objecte que pot ser el xi. L'origen de sistema coordenades (0,0) s'escull en CM per facilitar els càlculs que segueixen.

D'aquesta manera el mòdul a el quadrat de el vector r ' és:

Ara se substitueix aquest desenvolupament en la integral de moment d'inèrcia I _z ia més es fa servir la definició de densitat dm = ρ.dV:

El terme el Sr. D ² que apareix en el teorema de Steiner prové de la primera integral, la segona és el moment d'inèrcia respecte a l'eix que passa per CM.

Per la seva banda, la tercera i la quarta integrals valen 0, ja que per definició constitueixen la posició de l'CM, la qual s'ha triat com l'origen de el sistema de coordenades (0,0).

exercicis resolts

-Exercici resolt 1

La porta rectangular de la figura 1 té una massa de 23 kg, 1,30 d'ample i 2,10 m d'alt. Determinar el moment d'inèrcia de la porta respecte a l'eix que passa per les frontisses, suposant que la porta és prima i uniforme.

Figura 3. Esquema per l'exemple resolt 1. Font: modificat de Pixabay.

solució

A partir d'una taula de moments d'inèrcia, per una placa rectangular de massa M i dimensions a i b, el moment d'inèrcia respecte a l'eix que passa pel seu centre de massa és: I _CM = (1/12) M (a ² + b ²).

Es suposarà una porta homogènia (una aproximació, ja que la porta de la figura probablement no ho sigui tant). En aquest cas, el centre de massa passa pel seu centre geomètric. A la figura 3 s'ha dibuixat un eix que passa pel centre de masses i que a més és paral·lel a l'eix que passa per les frontisses.

I _CM = (1/12) x 23 Kg x (1.30 ² +2.10 ²) m ² = 11.7 kg.m ²

Aplicant el teorema de Steiner per a l'eix de rotació verd:

I = I _CM + MD ² = 11.7 kg.m ² + 23 Kg x 0652 m ² = 21.4 Kg.

-Exercici resolt 2

Trobi el moment d'inèrcia d'una vareta prima homogènia quan gira respecte a un eix que passa per un dels seus extrems, veure figura. És més o menys que el moment d'inèrcia quan gira al voltant del seu centre? Per què?

Figura 4. Esquema per l'exemple resolt 2. Font: F. Zapata.

solució

Segons la taula de moments d'inèrcia, el moment d'inèrcia I _CM d'una vareta prima de massa M i longitud L és: I _CM = (1/12) ML ²

I el teorema de Steiner afirma que quan se la fa girar al voltant d'un eix que passa per un extrem D = L / 2 queda:

És gran, encara que no simplement el doble, sinó 4 vegades més, ja que l'altra meitat de la vareta (sense ombrejar a la figura) gira descrivint un radi més gran.

La influència de la distància a l'eix de gir no és lineal, sinó quadràtica. Una massa que estigui a el doble de la distància que una altra, tindrà un moment d'inèrcia proporcional a (2D) ² = 4D ².

referències

1. Bauer, W. 2011. Física per Enginyeria i Ciències. Volum 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Geòrgia State University. Rotational Motion. Recuperat de: phys.nthu.edu.tw.
3. Parallel Axis Theorem. Recuperat de: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. Fonaments de Física. Pearson. 190-200.
5. Wikipedia. Parallel axis theorem. Recuperat de: en.wikipedia.org