TEOREMA DE NORTON: DESCRIPCIÓ, APLICACIONS, EXEMPLES I EXERCICIS - FÍSICA - 2025

El teorema de Norton, que s'aplica a circuits elèctrics, estableix que un circuit lineal amb dues terminals aib, es pot reemplaçar per un altre completament equivalent, que consta d'una font de corrent anomenada I _No connectada en paral·lel amb una resistència R _No.

Aquest corrent I _No o I _N és la que fluiria entre els punts aib, si estiguessin curtcircuitats. La resistència R _N és la resistència equivalent entre els terminals, quan totes les fonts independents es desactiven. Tot el que s'ha dit s'esquematitza a la figura 1.

Figura 1. Circuit equivalent de Norton. Font: Wikimedia Commons. Drumkid

La caixa negra de la figura conté el circuit lineal que es va a substituir pel seu equivalent Norton. Un circuit lineal és aquell en el qual l'entrada i la sortida tenen una dependència lineal, tal com la relació entre el voltatge V i el corrent directa I en un element òhmic: V = IR

Aquesta expressió correspon a la llei d'Ohm, on R és la resistència, que també pot ser una impedància, si tracta d'un circuit de corrent altern.

El teorema de Norton va ser desenvolupat per l'enginyer electricista i inventor Edward L. Norton (1898-1983), que va treballar durant molt de temps per als Laboratoris Bell.

Aplicacions de l'teorema de Norton

Quan es tenen xarxes molt complicades, amb moltes resistències o impedàncies i es vol calcular el voltatge entre alguna d'elles, o el corrent que la travessa, el teorema de Norton simplifica els càlculs, ja que com hem vist, la xarxa es pot substituir per un circuit més petit i manejable.

D'aquesta manera, el teorema de Norton és molt important a l'hora de dissenyar circuits amb múltiples elements, així com per estudiar la resposta dels mateixos.

Relació entre els teoremes de Norton i Thévenin

El teorema de Norton és el dual de l'teorema de Thévenin, el que significa que són equivalents. El teorema de Thévenin assenyala que la caixa negra a la figura 1, pot ser substituïda per una font de voltatge en sèrie amb una resistència, anomenada resistència de Thévenin R _Th. Això queda expressat en la següent figura:

Figura 2. Circuit original a l'esquerra, i els seus equivalents de Thévenin i Norton. Font: F. Zapata.

El circuit a l'esquerra és el circuit original, la xarxa lineal a la caixa negra, el circuit A dalt a la dreta és l'equivalent de Thevenin i el circuit B és l'equivalent de Norton, tal com s'ha descrit. Vists des dels terminals a i b, els tres circuits són equivalents.

Ara cal observar que:

-En el circuit original la tensió entre terminals és V _ab.

-V _ab = V _Th al circuit A

-Finalment, V _ab = I _N.R _N al circuit B

Si es curtcircuiten els terminals a i b en els tres circuits, s'ha de complir que la tensió i el corrent entre aquests punts ha de ser la mateixa per a tots tres, ja que són equivalents. llavors:

-En el circuit original el corrent és i.

-Per al circuit A, el corrent és i = V _Th / R _Th, d'acord amb la llei d'Ohm.

-Finalment en el circuit B, el corrent és I _N

Per tant es conclou que les resistències de Norton i Thévenin tenen el mateix valor, i que el corrent ve donada per:

i = I _N = V _Th / R _Th = V _Th / R _N

exemple

Per aplicar correctament el teorema de Norton, es segueixen els següents passos:

Aïllar de la xarxa la secció de l'circuit per a la qual es va a trobar l'equivalent de Norton.

-En el circuit restant, indicar les terminals ai b.

-Substituir les fonts de voltatge per curtcircuits i les de corrent per circuits oberts, per trobar la resistència equivalent entre els terminals ai b. Aquesta és R _N.

-Regresar totes les fonts a les seves posicions originals, curtcircuitar els terminals aibi trobar el corrent que circula entre ells. Aquesta és I _N.

-Dibuixar el circuit equivalent de Norton d'acord al que indica la figura 1. Les dues, font de corrent i resistència equivalent queden en paral·lel.

També es pot aplicar el teorema de Thévenin per trobar R _Th, que ja sabem és igual a R _N, després per llei d'Ohm es pot trobar I _N i es procedeix a dibuixar el circuit resultant.

I ara vegem un exemple:

Trobar l'equivalent de Norton entre els punts A i B de el següent circuit:

Figura 3. Circuit d'exemple. Font: F. Zapata.

Ja es té aïllada la part de l'circuit l'equivalent cal trobar. I els punts A i B estan clarament determinats. El que segueix és curtcircuitar la font de 10 V i trobar la resistència equivalent de l'circuit obtingut:

Figura 4. Font cortocircuitada. Font: F. Zapata.

Vistes des dels terminals A i B, ambdues resistències R ₁ i R ₂ estan en paral·lel, per tant:

1 / R _eq = 1 / R ₁₂ = (1/4) + (1/6) Ω ^-1 = 5/12 Ω ^-1 → R _eq = 12/5 Ω = 2.4 Ω

Seguidament es torna la font al seu lloc i es curtcircuiten els punts A i B per trobar el corrent que circula per allà, aquesta serà I _N. En aquest cas:

Figura 5. Circuit per calcular el corrent de Norton. Font: F. Zapata.

I _N = 10 V / 4 Ω = 2.5 A

Equivalent de Norton

Finalment es dibuixa l'equivalent de Norton amb els valors trobats:

Figura 6. Equivalent de Norton de el circuit de la figura 3. Font: F. Zapata.

exercici resolt

En el circuit de la figura següent:

Figura 7. Circuit per a l'exercici resolt. Font: Alexander, C. 2006. Fonaments de Circuits Elèctrics. 3ra. Edició. Mc Graw Hill.

a) Trobar el circuit equivalent de Norton de la xarxa externa a la resistència de color blau.

b) Trobar també l'equivalent de Thévenin.

solució a

Seguint els passos indicats amb anterioritat, cal curtcircuitar la font:

Figura 8. Font cortocircuitada al circuit de la figura 7. Font: F. Zapata.

Càlcul de RN

Vista des dels terminals A i B, la resistència R ₃ està en sèrie amb el paral·lel format per les resistències R ₁ i R ₂, calculem primer la resistència equivalent d'aquest paral·lel:

I a continuació, aquest paral·lel està en sèrie amb R _3, de manera que la resistència equivalent és:

Aquest és el valor tant de R _N com de R _Th, segons es va explicar abans.

Càlcul d'IN

Seguidament es curtcircuiten els terminals A i B, tornant la font al seu lloc:

Figura 9. Circuits per trobar el corrent de Norton. Font: F. Zapata.

El corrent que passa per I ₃ és el corrent I _N buscada, que es pot determinar amb el mètode de malles o emprant sèrie i paral·lel. En aquest circuit R ₂ i R ₃ estan en paral·lel:

La resistència R ₁ està en sèrie amb aquest paral·lel, després:

El corrent que surt de la font (color blau) es calcula mitjançant la llei d'Ohm:

Aquest corrent es divideix en dues parts: una que travessa R ₂ i una altra que travessa R ₃. No obstant això, el corrent que travessa a l'paral·lel R ₂₃ és la mateixa que passa per R ₁, tal com s'aprecia en el circuit intermedi de la figura. El voltatge allà és:

Les dues resistències R ₂ i R ₃ són a aquest voltatge, ja que estan en paral·lel, per tant:

Ja tenim el corrent de Norton buscada, ja que com es va dir prèviament I ₃ = I _N, llavors:

Equivalent de Norton

Tot està a punt per dibuixar l'equivalent de Norton d'aquest circuit entre els punts A i B:

Figura 10. Equivalent de Norton de el circuit de la figura 7. Font: F. Zapata.

solució b

Trobar l'equivalent de Thévenin és molt senzill, ja que R _Th = R _N = 6 Ω i segons l'explicat en les seccions precedents:

V _Th = I _N. R _N = 1 A. 6 Ω = 6 V

El circuit equivalent de Thévenin és:

Figura 11. Equivalent de Thevenin de el circuit de la figura 7. Font: F. Zapata.

referències

1. Alexander, C. 2006. Fonaments de Circuits Elèctrics. 3ra. Edició. Mc Graw Hill.
2. Boylestad, R. 2011. Introducció a l'Anàlisi de Circuits. 2dóna. Edició. Pearson.
3. Dorf, R. 2006. Introduction to Electrical Circuits. 7th. Edition. John Wiley & Sons.
4. Edminister, J. 1996. Circuits Elèctrics. Sèrie Schaum. 3ra. Edició. Mc Graw Hill.
5. Wikipedia. Teorema de Norton. Recobrat de: es.wikipedia.org.