- Fórmules i equacions
- Variació de la pressió amb la profunditat
- Solució de l'equació diferencial
- exemples
- El principi de Pascal
- La paradoxa hidrostàtica de Stevin
- exercicis
- exercici 1
- recipient 1
- recipient 2
- exercici 2
- solució
- referències
La pressió manomètrica P m és aquella que es mesura en relació a una pressió de referència, que en la majoria dels casos s'escull com la pressió atmosfèrica P atm a nivell de la mar. Es tracta llavors d'una pressió relativa, un altre terme pel qual se la coneix també.
L'altra manera en què sol mesurar-se la pressió és comparant-la amb el buit absolut, la pressió sempre és nul·la. En aquest cas es parla de la pressió absoluta, a la qual denotarem com P a.
Figura 1. Pressió absoluta i pressió manomètrica. Font: F. Zapata.
La relació matemàtica entre aquestes tres quantitats és:
Per tant:
La figura 1 il·lustra convenientment aquesta relació. Ja que la pressió de l'buit és 0, la pressió absoluta sempre és positiva i el mateix passa amb la pressió atmosfèrica P atm.
La pressió manomètrica se sol utilitzar per denotar pressions per sobre de la pressió atmosfèrica, com ara la que porten els pneumàtics o la que hi ha al fons de la mar o d'una piscina, la qual és exercida pel pes de la columna d'aigua. En aquests casos P m > 0, ja que P a > P atm.
No obstant això, hi ha pressions absolutes per sota de P atm. En aquests casos P m <0 i rep el nom de pressió de buit i no s'ha de confondre amb la pressió de l'buit ja descrita, que és l'absència de partícules capaços d'exercir pressió.
Fórmules i equacions
La pressió en un fluid -líquid o gas-, és una de les variables més significatives en el seu estudi. En un fluid estacionari, la pressió és la mateixa en tots els punts a una mateixa profunditat sense importar l'orientació, mentre que el moviment dels fluids en les canonades és causat pels canvis de la pressió.
La pressió mitjana es defineix com el quocient entre la força perpendicular a una superfície F ⊥ i l'àrea d'aquesta superfície A, que s'expressa matemàticament de la següent manera:
La pressió és una quantitat escalar, les dimensions són de força per unitat d'àrea. Les unitats de la seva mesura en el Sistema Internacional d'Unitats (SI) són newton / m 2, anomenada Pascal i abreujat com Pa, en honor a Blaise Pascal (1623-1662).
Els múltiples com quilo (10 3) i mega (10 6) són d'ús freqüent, ja que la pressió atmosfèrica sol estar en el rang de 90000-102.000 Pa, el que és igual a: 90 - 102 kPa. No són rares les pressions de l'ordre dels mega pascals, per això important familiaritzar-se amb els prefixos.
En les unitats anglosaxones la pressió es mesura en lliures / peu 2, però, el comú és que es faci en lliures / polzada 2 o psi (pounds-force per square inch).
Variació de la pressió amb la profunditat
Com més ens submergim en l'aigua d'una piscina o al mar, més pressió experimentem. Per contra, el augmentar l'altura, la pressió atmosfèrica disminueix.
La pressió atmosfèrica mitjana a nivell de la mar s'estableix en 101300 Pa o 101.3 kPa, mentre que a la fossa de les Mariannes en el Pacífic Occidental -la major profunditat que es coneix- és unes 1000 vegades més gran i al cim de l'Everest és de tot just 34 kPa.
És clar que la pressió i la profunditat (o l'alçada) estan relacionades. Per saber-ho en el cas d'un fluid en repòs (equilibri estàtic) es considera una porció de fluid amb forma de disc, confinada en un recipient, (veure figura 2). El disc té secció transversal d'àrea A, pes dW i alçada di.
Figura 2. Element diferencial de fluid en equilibri estàtic. Font: Fanny Zapata.
Anomenarem P a la pressió que hi ha a profunditat "i" i P + dP a la pressió que hi ha a profunditat (i + di). Ja que la densitat ρ de el fluid és la raó entre la seva massa dm i el seu volum dV, s'ha de:
Per tant el pes dW de l'element és:
I ara s'aplica la segona Llei de Newton:
Solució de l'equació diferencial
Integrant a banda i banda i considerant que la densitat ρ, així com la gravetat g són constants, es troba l'expressió cercada:
Si en l'expressió anterior es tria P 1 com la pressió atmosfèrica ii 1 com la superfície de el líquid, llavors i 2 es troba situada a una profunditat hi Ap = P 2 - P atm és la pressió manomètrica en funció de la profunditat:
En cas de necessitar el valor de la pressió absoluta, simplement se li suma la pressió atmosfèrica a el resultat anterior.
exemples
Per a la mesura de la pressió manomètrica s'utilitza un dispositiu anomenat manòmetre, que generalment ofereixen diferències de pressió. A la fin es descriuran el principi de funcionament d'un manòmetre en forma de tub en U, però ara vegem alguns exemples i conseqüències importants de l'equació deduïda prèviament.
El principi de Pascal
L'equació Δ P = ρ.g. (I 2 - i 1) es pot escriure com P = Po + ρ.gh, on P és la pressió a la profunditat h, mentre que P o és la pressió en la superfície de l'fluid, usualment P atm.
Evidentment que cada vegada que augmenti Po, augmenta P en la mateixa quantitat, sempre que es tracti d'un fluid la densitat sigui constant. És precisament el que es va suposar a l'considerar ρ constant i col·locar-la fora de la integral resolta en l'apartat anterior.
El principi de Pascal afirma que qualsevol augment en la pressió d'un fluid confinat en equilibri, es transmet sense cap variació a tots els punts d'aquest fluid. Mitjançant aquesta propietat, és possible multiplicar la força F 1 aplicada a l'èmbol petit de l'esquerra, i obtenir F 2 en el de la dreta.
Figura 3. A la premsa hidràulica s'aplica el principi de Pascal. Font: Wikimedia Commons.
Els frens de l'automòbil funcionen sota aquest principi: s'aplica una força relativament petita sobre el pedal, la qual es converteix en una força major sobre el cilindre de fre en cada roda, gràcies a el fluid utilitzat en el sistema.
La paradoxa hidrostàtica de Stevin
La paradoxa hidrostàtica afirma que la força deguda a la pressió d'un fluid en el fons d'un recipient pot ser igual, major o menor que el pes de l'fluid mateix. Però a l'posar el recipient a sobre de la bàscula, aquesta registrarà normalment el pes de el fluid (més el de l'recipient és clar). Com explicar aquesta paradoxa?
Partim de el fet que la pressió en el fons de l'recipient depèn exclusivament de la profunditat i és independent de la forma, tal com es va deduir a l'apartat precedent.
Figura 4. El líquid arriba a la mateixa altura en tots els recipients i la pressió en el fons és la mateixa. Font: F. Zapata.
Vegem alguns recipients diferents. A l'estar comunicats, quan s'omplen de líquid tots arriben a la mateixa altura h. Els punts destacats estan a la mateixa pressió, ja que es troben a igual profunditat. No obstant això, la força deguda a la pressió en cada punt pot diferir de l'pes, (vegeu l'exemple 1 a continuació).
exercicis
exercici 1
Comparar la força exercida per la pressió sobre el fons de cada un dels recipients amb el pes de l'fluid, i expliqui el per què de les diferències, si n'hi ha.
recipient 1
Figura 5. La pressió en el fons és igual en magnitud a el pes de l'fluid. Font: Fanny Zapata.
En aquest recipient l'àrea de la base és A, per tant:
El pes i la força deguda a la pressió són iguals.
recipient 2
Figura 6. La força deguda a la pressió en aquest recipient és més gran que el pes. Font: F. Zapata.
El recipient té una part estreta i una part ampla. En l'esquema de la dreta s'ha dividit en dues parts i es farà ús de la geometria per trobar el volum total. L'àrea A 2 és externa a l'recipient, h 2 és l'altura de la part estreta, h 1 és l'altura de la part ampla (base).
El volum complet és el volum de la base + el volum de la part estreta. Amb aquestes dades es té:
Comparant el pes de l'fluid amb la força deguda a la pressió s'adverteix que aquesta és més gran que el pes.
El que passa és que el fluid també exerceix força sobre la part de l'esglaó en el recipient (veure les fletxes en vermell de la figura) que estan incloses en el càlcul anterior. Aquesta força cap amunt contraresta a les que s'exerceixen cap avall i el pes que registra la bàscula és la resultant d'aquestes. D'acord a això, la magnitud de l'pes és:
W = Força sobre el fons - Força sobre la part escalonada = ρ. g. A 1.h - ρ. g. A. . h 2
exercici 2
A la figura es mostra un manòmetre de tub obert. Consisteix en un tub en U, en el qual un dels extrems es troba a pressió atmosfèrica i l'altre es connecta a S, el sistema la pressió es va a mesurar.
Figura 7. Manòmetre de tub obert. Font: F. Zapata.
El líquid en el tub (en groc a la figura) pot ser aigua, tot i que de preferència s'utilitza mercuri per reduir la mida de l'aparell. (Una diferència d'1 atmosfera o 101.3 kPa requereix d'una columna d'aigua de 10.3 metres, res portàtil).
Es demana trobar la pressió manomètrica P m en el sistema S, en funció de l'altura H de la columna de líquid.
solució
La pressió en el fons per a les dues branques de l'tub és la mateixa, per estar a igual profunditat. Sigui P A la pressió en el punt A, situat a i 1 i P B les del punt B que es troba a l'alçada i 2. Ja que el punt B es troba a la interfície de líquid i aire, la pressió allà és P o. En aquesta branca de l'manòmetre, la pressió en el fons és:
Per la seva banda, la pressió en el fons per a la branca de l'esquerra és:
On P és la pressió absoluta de sistema i ρ és la densitat de l'fluid. Igualant les dues pressions:
Aïllant P:
Per tant, la pressió manomètrica P m ve donada per P - P o = ρ.g. H i per tenir el seu valor, només cal mesurar l'altura a la qual puja el líquid manométrico i multiplicar-la pel valor de gi la densitat de l'fluid.
referències
- Cimbala, C. 2006. Mecànica de Fluids, Fonaments i Aplicacions. Mc. Graw Hill. 66-74.
- Figueroa, D. 2005. Sèrie: Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 4. Fluids i Termodinàmica. Editat per Douglas Figueroa (USB). 3-25.
- Mott, R. 2006. Mecànica de Fluids. 4ta. Edició. Pearson Educació. 53-70.
- Shaugnessy, I. 2005. Introduction to Fluid Mechanics.Oxford University Press. 51-60.
- Stylianos, V. 2016. A primera explanation of the classic hydrostatic paradox. Recobrat de: haimgaifman.files.wordpress.com