LLEIS DE KEPLER: EXPLICACIÓ, EXERCICIS, EXPERIMENT - FÍSICA - 2025

Les lleis de Kepler sobre el moviment planetari van ser formulades per l'astrònom alemany Johannes Kepler (1571-1630). Kepler les va deduir basant-se en la feina del seu mestre l'astrònom danès Tycho Brahe (1546-1601).

Brahe va recopilar acuradament les dades dels moviments planetaris al llarg de més de 20 anys, amb una precisió i exactitud sorprenents, si es té en compte que per a l'època encara no s'havia inventat el telescopi. La validesa de les seves dades segueix vigent encara avui dia.

Figura 1. Les òrbites dels planetes segons les lleis de Kepler. Font: Wikimedia Commons. Willow / CC BY (https://creativecommons.org/licenses/by/3.0)

Les 3 lleis de Kepler

Les lleis de Kepler estableixen:

-Primera llei: tots els planetes descriuen òrbites el·líptiques amb el Sol en un dels focus.

Això vol dir que el quocient T ² / r ³ és el mateix per a tots els planetes, la qual cosa fa possible calcular el radi orbital, si es coneix el període orbital.

Quan T s'expressa en anys ir en unitats astronòmiques UA *, la constant de proporcionalitat val k = 1:

* Una unitat astronòmica equival a 150 milions de quilòmetres, que és la distància mitjana entre la Terra i el Sol. El període orbital de la Terra és d'1 any.

La llei de gravitació universal i la tercera llei de Kepler

La llei de gravitació universal estableix que la magnitud de la força d'atracció gravitatòria entre dos objectes de masses M im respectivament, els centres estan separats una distància r, ve donada per:

G és la constant de gravitació universal i el seu valor és G = 6.674 x 10 ^-11 Nm ² / kg ².

Ara bé, les òrbites dels planetes són el·líptiques amb una excentricitat molt petita.

Això vol dir que l'òrbita no s'allunya molt d'una circumferència, excepte en alguns casos com el planeta nan Plutó. Si aproximem les òrbites a la forma circular, l'acceleració de el moviment de l'planeta és:

Atès que F = ma, tenim:

Aquí v és la velocitat lineal d'planeta al voltant de el Sol, suposat estàtic i de massa M, mentre que la de l'planeta és m. llavors:

Això explica que els planetes més allunyats de el Sol tinguin una menor velocitat orbital, ja que aquesta depèn d'1 / √r.

Com la distància que viatja al planeta és aproximadament la longitud de la circumferència: L = 2πr i es triga un temps igual T, el període orbital, s'obté:

Igualant ambdues expressions per v s'obté una expressió vàlida per a T ², el quadrat de el període orbital:

I aquesta és precisament la tercera llei de Kepler, ja que en aquesta expressió el parèntesi 4π ² / GM és constant, per tant T ² és proporcional a la distància r elevada a la galleda.

L'equació definitiva per al període orbital s'obté extraient arrel quadrada:

Figura 3. Afelio i periheli. Font: Wikimedia Commons. Pearson Scott Foresman / Public domain

Per tant, substituïm r per a en la tercera llei de Kepler, la qual cosa resulta per al Halley a:

solució b

a = ½ (Perihelio + Afelio)

experiment

Analitzar el moviment dels planetes requereix setmanes, mesos i fins anys d'acurada observació i registre. Però en el laboratori es pot dur a terme un experiment a escala molt senzill per provar que la llei de les àrees iguals de Kepler es compleix.

Per a això es requereix un sistema físic en el qual la força que regeix a el moviment sigui central, condició suficient perquè es compleixi la llei de les àrees. Tal sistema consisteix en una massa lligada a una llarga corda, amb l'altre extrem de l'fil fix a un suport.

S'aparta la massa un petit angle de la seva posició d'equilibri i se li imprimeix un lleuger impuls, de manera que executi un moviment ovalat (gairebé el·líptic) en el pla horitzontal, com si fos un planeta al voltant de Sol.

Sobre la corba descrita pel pèndol, podem provar que escombra àrees iguals en temps iguals, si:

-Considerem radis vectors que van des del centre d'atracció (punt inicial d'equilibri) fins a la posició de la massa.

-I escombrem entre dos instants consecutius d'igual durada, en dos diferents zones de el moviment.

Com més llarg el fil de l'pèndol i menor l'angle que s'aparta de la vertical, la força restauradora neta serà més horitzontal i la simulació s'assembla a el cas de el moviment amb força central en un pla.

Llavors l'oval descrit s'aproxima a una el·lipse, tal com la que recorren els planetes.

materials

-Hilo inextensible

-1 massa o boleta metàl·lica pintada de blanc que fa de llentia de pèndol

-regla graduada

-Transportador

-Càmera fotogràfica amb disc estroboscòpic automàtic

-Suports

-Dos fonts d'il·luminació

-Una làmina de paper o cartró negre

procediment

Es necessita el muntatge de la figura per fer fotos de centelleigs múltiples de l'pèndol a mesura que segueix la seva trajectòria. Per a això cal posar la càmera just a dalt de l'pèndol i el disc estroboscòpic automàtic davant de la lent.

Figura 4. Muntatge de l'pèndol per comprovar que escombra àrees iguals en temps iguals. Font: PSSC Guia de Laboratori.

D'aquesta manera s'obtenen imatges a intervals de temps regulars de l'pèndol, per exemple cada 0.1 o cada 0.2 segons, la qual cosa permet saber el temps que li va prendre moure d'un punt a l'altre.

També cal il·luminar la massa de l'pèndol convenientment, posant els llums a banda i banda. La llentia s'ha de pintar de color blanc per millorar el contrast sobre el fons, que consisteix en un paper negre estès sobre el sòl.

Ara cal revisar que el pèndol escombra àrees iguals en temps iguals. Per a això s'escull un interval de temps i es marquen sobre el paper els punts ocupats pel pèndol en aquest interval.

Sobre la imatge es traça una línia des del centre de l'oval fins aquests punts i així tindrem la primera de les àrees escombrades pel pèndol, que és aproximadament un sector el·líptic com el que es mostra a continuació:

Figura 5. Àrea d'un sector el·líptic. Font: F. Zapata.

Càlcul de l'àrea de la secció el·líptica

Amb el transportador es mesuren els angles θ _o i θ ₁, i s'utilitza aquesta fórmula per trobar S, l'àrea de el sector el·líptic:

Amb F (θ) donat per:

Cal notar que a i b són els semieixos major i menor respectivament. El lector només ha de preocupar-se mesurar acuradament els semieixos i els angles, ja que hi ha calculadores en línia per avaluar aquesta expressió fàcilment.

No obstant això, si insisteix a fer el càlcul a mà, cal recordar que l'angle θ es mesura en graus, però a l'hora d'ingressar les dades a la calculadora, els valors han d'estar expressats en radiants.

Després cal marcar un altre parell de punts en els quals el pèndol hagi invertit el mateix interval de temps, i dibuixar l'àrea corresponent, calculant el seu valor amb el mateix procediment.

Comprovació de la llei d'les àrees iguals

Finalment resta comprovar que la llei de les àrees es compleix, és a dir, que en temps iguals es escombren àrees iguals.

¿Els resultats es desvien una mica del que s'esperava? Cal tenir present sempre que totes les mesures estan acompanyades del seu respectiu error experimental.

referències

1. Keisan Online Calculator. Àrea of ​​an Elliptical sector calculator. Recuperat de: keisan.casio.com.
2. Openstax. Kepler 's Law of Planetary Motion. Recuperat de: openstax.org.
3. PSSC. Física de Laboratori. Editorial Reverté. Recuperat de: books.google.co.
4. Palen, S. 2002. Astronomy. Schaum Series. McGraw Hill.
5. Pérez R. Sistema senzill amb força central. Recuperat de: francesphysics.blogspot.com
6. Stern, D. Les tres lleis de Kepler de el moviment planetari. Recuperat de: phy6.org.