TÈCNIQUES DE RECOMPTE: TÈCNIQUES, APLICACIONS, EXEMPLES, EXERCICIS - DUDAS - 2026

Les tècniques de comptatge són una sèrie de mètodes de probabilitat per comptar el nombre possible d'arranjaments dins d'un conjunt o diversos conjunts d'objectes. Aquestes es fan servir quan realitzar els comptes de forma manual es converteix en quelcom complicat a causa de la gran quantitat d'objectes i / o variables.

Per exemple, és molt senzill la solució a aquest problema: imagina't que el teu cap et demana que expliquis els últims productes que han arribat a l'última hora. En aquest cas podries anar i comptar un a un els productes.

No obstant això, imagina que el problema és aquest: el teu cap et demana que expliquis quants grups de 5 productes de el mateix tipus poden formar-se amb els que han arribat l'última hora. En aquest cas, el càlcul es complica. Per a aquest tipus de situacions s'utilitzen les anomenades tècniques de recompte.

Aquestes tècniques són diverses, però les més importants es divideixen en dos principis bàsics, que són el multiplicador i l'additiu; les permutacions i les combinacions.

principi multiplicador

aplicacions

El principi multiplicatiu, juntament amb l'additiu, són bàsics per entendre el funcionament de les tècniques de recompte. En el cas de l'multiplicador, consisteix en el següent:

Imaginem una activitat que comporta un nombre concret de passos (el total ho marquem com "r"), on el primer pas pot fer-se de N1 formes, el segon pas de N2, i el pas "r" de Nr formes. En aquest cas, l'activitat podria realitzar-se de el nombre de formes resultant d'aquesta operació: N1 x N2 x……….x Nr formes

És per això que aquest principi es diu multiplicador, i implica que tots i cada un dels passos que es necessiten per dur a terme l'activitat han de realitzar un darrere l'altre.

exemple

Anem a imaginar una persona que vol construir un col·legi. Per això, considera que la base de l'edifici pot construir-se de dues maneres diferents, ciment o concret. Pel que fa a les parets, poden ser de tova, ciment o maó.

Pel que fa a sostre, aquest pot construir de ciment o làmina galvanitzada. Finalment, la pintura final només pot realitzar-se d'una forma. La pregunta que es planteja és la següent: Quantes formes té de construir el col·legi?

En primer lloc, considerem el nombre de passos, que serien la base, les parets, la teulada i la pintura. En total, 4 passos, de manera que r = 4.

El següent seria enumerar les N:

N1 = formes de construir la base = 2

N2 = formes de construir les parets = 3

N3 = formes de fer la teulada = 2

N4 = formes de fer pintura = 1

Per tant, el nombre de formes possibles es calcularia mitjançant la fórmula abans descrita:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneres de fer l'escola.

principi additiu

aplicacions

Aquest principi és molt simple, i consisteix en que, en el cas d'existir diverses alternatives de realitzar una mateixa activitat, les formes possibles consisteixen en la suma de les diferents formes possibles de realitzar totes les alternatives.

Dit d'una altra manera, si volem realitzar una activitat amb tres alternatives, on la primera alternativa pot realitzar-se de M formes, la segona de N formes i l'última de W formes, l'activitat pot realitzar-se de: M + N +……… + W formes.

exemple

Imaginem aquesta vegada a una persona que vol comprar una raqueta de tennis. Per a això, té tres marques a escollir: Wilson, Babolat o Head.

Quan va a la botiga veu que la raqueta Wilson pot comprar-se amb el mànec de dues mides diferents, L2 o L3 en quatre models diferents i pot ser encordada o sense encordar.

La raqueta Babolat, en canvi, té tres mànecs (L1, L2 i L3), hi ha dos models diferents i pot també ser encordada o sense encordar.

La raqueta Head, per la seva banda, només està amb un mànec, el L2, en dos models diferents i només sense encordar. La pregunta és: Quantes formes té aquesta persona de comprar la seva raqueta?

M = Nombre de maneres de seleccionar una raqueta Wilson

N = Nombre de maneres de seleccionar una raqueta Babolat

W = Nombre de maneres de seleccionar una raqueta Head

Realitzem el principi multiplicador:

M = 2 x 4 x 2 = 16 formes

N = 3 x 2 x 2 = 12 maneres

W = 1 x 2 x 1 = 2 formes

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 formes de triar una raqueta.

Per saber en quin moment cal utilitzar el principi multiplicador i l'additiu, únicament cal fixar-se en si l'activitat té una sèrie de passos per a realitzar-se, i si hi ha diverses alternatives, l'additiu.

permutacions

aplicacions

Per comprendre què és una permutació, és important explicar què és una combinació per poder diferenciar-les i saber quan utilitzar-les.

Una combinació seria un arranjament d'elements en els quals no ens interessa la posició que ocupa cada un d'ells.

Una permutació, en canvi, seria un arranjament d'elements en els quals sí ens interessa la posició que ocupa cada un d'ells.

Anem a posar un exemple per entendre millor la diferència.

exemple

Imaginem una classe amb 35 alumnes, i amb les següents situacions:

1. El professor vol que tres dels seus alumnes l'ajudin a mantenir la classe neta o lliurar materials als altres alumnes quan ho necessiti.
2. El professor vol nomenar els delegats de classe (un president, un assistent i un financer).

La solució seria la següent:

1. Imaginem que per votació es tria a Joan, Maria i Lucía per netejar la classe o lliurar els materials. Òbviament, podrien haver-se format altres grups de tres persones, entre els 35 alumnes possibles.

Ens hem de preguntar el següent: ¿és important l'ordre o la posició que ocupa cada un dels alumnes a l'hora de seleccionar-los?

Si ho pensem, veiem que realment no és important, ja que el grup va a encarregar-se de les dues labors per igual. En aquest cas, es tracta d'una combinació, ja que no ens interessa la posició dels elements.

1. Ara imaginem que es trien a Joan com a president, a Maria com a assistent ja Lucía com financera.

En aquest cas, ¿faria res l'ordre? La resposta és sí, ja que si canviem els elements, canvia el resultat. És a dir, si en comptes de posar a Juan com a president, li posem com a assistent, ja Maria com a president, el resultat final canviaria. En aquest cas es tracta d'una permutació.

Un cop compresa la diferència, anem a obtenir les fórmules de les permutacions i de les combinacions. Abans, però, cal definir el terme "n!" (Gen factorial), ja que s'utilitzarà en les diferents fórmules.

n! = a el producte d'1 a n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x………..xn

Utilitzant-amb nombres reals:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x……… x 10 = 3.628.800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x……… x 5 = 120

La fórmula de les permutacions seria la següent:

NPR = n! / (nr)!

Amb ella podrem esbrinar els arranjaments on l'ordre és important, i on els n elements són diferents.

combinacions

aplicacions

Com hem comentat anteriorment, les combinacions són els arranjaments en on no ens importa el la posició dels elements.

La seva fórmula és la següent:

NCR = n! / (nr)! r!

exemple

Si hi ha 14 alumnes que volen ser voluntaris per netejar l'aula, quants grups de neteja podran formar-se si cada grup ha de ser de 5 persones?

La solució, per tant, seria la següent:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 grups

exercicis resolts

exercici 1

Font: Pixabay.com

A Natalia li encarrega la seva mare que vagi a una botiga d'alimentació i que li compri un refresc per refrescar-se. Quan Natàlia li demana la beguda a el dependent, aquest li indica que hi ha quatre sabors de refrescs, de tres tipus i de tres mides.

Els sabors dels refrescos poden ser: cua, llimona, taronja i menta.

Els tipus de refrescos de cola poden ser: normal, sense sucre, sense cafeïna.

Les mides poden ser: petit, mitjà i gran.

La mare de Natàlia no va especificar quin tipus de refresc volia Quantes formes té Natàlia de comprar la beguda?

solució

M = Nombre de mida i tipus que pot seleccionar a l'hora de triar el refresc de cola.

N = Nombre de mida i tipus que pot seleccionar a l'hora de triar el refresc de llimona.

W = Nombre de mida i tipus que pot seleccionar a l'hora de triar el refresc de taronja.

I = Nombre de mida i tipus que pot seleccionar a l'hora de triar el refresc de menta.

Realitzem el principi multiplicador:

M = 3 × 3 = 9 formes

N = 3 × 3 = 9 formes

W = 3 × 3 = 9 formes

I = 3 × 3 = 9 formes

M + N + W + I = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 maneres de seleccionar el refresc.

exercici 2

Font: pixabay.com

Un club esportiu anuncia uns tallers d'accés lliure perquè els nens aprenguin a patinar. S'inscriuen 20 nens, de manera que decideixen dividir dos grups de deu persones perquè els instructors puguin donar les classes de manera més còmoda.

Al seu torn, decideixen que sortejaran a quin grup caurà cada nen. En quants grups diferents podria ingressar un nen.

solució

En aquest cas, la manera de trobar una resposta és mitjançant la tècnica de combinació, la fórmula era: NCR = n! / (Nr)! R!

n = 20 (nombre de nens)

r = 10 (mida de grup)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10! / 10! 10! = 184.756 grups.

referències

1. Jeffrey, RC, Probability and the Art of Judgment, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, «An Introduction to Probability Theory and Its Applications«, (Vol 1), 3rd Ed, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). «Logical foundations and measurement of subjective probability». Acta Psychologica.
4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Introduction to Mathematical Statistics (6th ed.). Upper Saddle River: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) The Science of Conjecture: Evidence and Probability Before Pascal, Johns Hopkins University Press.