La descomposició additiva d'un nombre enter positiu consisteix a expressar-com una suma de dos o més nombres enters positius. Així, tenim que el número 5 podem expressar-ho com 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 o 5 = 1 + 2 + 2. Cadascuna d'aquestes maneres d'escriure el número 5 és el que anomenarem descomposició additiva.

Si parem atenció podem veure que les expressions maig = 2 + 3 i 5 = 3 + 2 representen la mateixa composició; ambdues compten amb els mateixos números. No obstant això, només per una qüestió de comoditat se sol escriure cada un dels sumands seguint el criteri de menor a major.

Descomposión additiva

Com un altre exemple podem prendre el número 27, el qual podem expressar com:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

La descomposició additiva és una eina de gran utilitat que ens permet reforçar els nostres coneixements sobre els sistemes de numeració.

Descomposión additiva canònica

Quan tenim números de més de dues xifres, una forma particular de descomposar-és en els múltiples de 10, 100, 1000, 10 000, etc., que el conformen. Aquesta forma d'escriure un nombre qualsevol és cridada descomposició additiva canònica. Per exemple, el nombre 1456 podem descompondre de la manera següent:

1456 = 1000 + 400 + 50 + 6

Si tenim el número 20 846 295, la seva descomposició additiva canònica serà:

20 846 295 = 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Gràcies a aquesta descomposició, podem veure que el valor d'un dígit donat ve donat per la posició que ocupa. Prenguem com a exemple els números 24 i 42:

24 = 20 + 4

42 = 40 + 2

Aquí podem observar que en 24 el 2 té un valor de 20 unitats i el 4 un valor de 4 unitats; en canvi, en el 42 el 4 té un valor de 40 unitats i el 2 de dues unitats. Així, encara que tots dos nombres fan servir els mateixos dígits, els seus valors són totalment diferents per la posició que ocupen.

aplicacions

Una de les aplicacions que podem donar-li a la descomposició additiva és en cert tipus de demostracions, en les quals ens és molt útil veure un nombre enter positiu com a suma d'altres.

Teorema d'exemple

Prenguem com a exemple el següent teorema amb les seves respectives demostracions.

- Sigui Z un nombre enter de 4 dígits, llavors Z és divisible per 5 si el seu xifra corresponent a les unitats és zero o cinc.

demostració

Recordem el que és divisibilitat. Si tenim «a» i «b» nombres sencers, diem que «a» divideix «b» si existeix un enter «c» tal que b = a * c.

Una de les propietats de la divisibilitat ens diu que si "a" i "b" són divisibles entre «c», llavors la resta «ab» també ho és.

Sigui Z un nombre enter de 4 dígits; per tant, podem escriure a Z com Z = ABCD.

Usant la descomposició additiva canònica hem de:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

És clar que A * 1000 + B * 100 + C * 10 és divisible entre 5. Per això hem de Z és divisible entre 5 si Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) és divisible entre 5.

Però Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D i D és un número d'una sola xifra, per la qual cosa l'única forma que sigui divisible entre 5 és que sigui 0 o 5.

Per tant, Z és divisible entre 5 si D = 0 o D = 5.

Notem que si Z té n dígits la demostració és exactament la mateixa, només canvia que ara escriuríem Z = A ₁ A ₂… A _n i l'objectiu seria provar que A _n és zero o cinc.

particions

Diem que una partició d'un nombre enter positiu és una manera en la qual podem escriure un nombre com a suma d'enters positius.

La diferència entre una descomposició additiva i una partició és que, mentre en la primera es busca que a el menys es pugui descompondre en dos sumands o més, en la partició no té aquesta restricció.

Així, tenim el següent:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Les anteriors són particions de 5.

És a dir, hem de tota descomposició additiva és una partició, però no tota partició és necessàriament una descomposició additiva.

En teoria de nombres, el teorema fonamental de l'aritmètica ens garanteix que tot nombre enter es pot escriure de manera única com a producte de primers.

Quan s'estudien les particions, l'objectiu és determinar de quantes maneres es pot escriure un enter positiu com a suma d'altres sencers. Per això definim la funció partició com es presenta a continuació.

definició

La funció partició p (n) es defineix com el nombre de maneres en què un enter positiu n es pot escriure com una suma d'enters positius.

Tornant a l'exemple de l'5, hem de:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

De tal manera, pàg (5) = 7.

Gràfiques

Tant les particions com les descomposicions additives d'un nombre n poden representar geomètricament. Suposem que tenim una descomposició additiva de n. En aquesta descomposició poden arreglar-se els sumands de manera que els membres de la suma estiguin ordenats de menys a més. Llavors, val que:

n = a ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _r amb

a ₁ ≤ a ₂ ≤ a ₃ ≤… ≤ a _r.

Podem graficar aquesta descomposició de la següent manera: en una primera fila vam marcar els a ₁ -punts, després en la següent marquem a ₂ -punts, i així successivament fins a arribar aa _r.

Prenguem com a exemple el número 23 i el seu següent descomposició:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 + 3

Ordenem aquesta descomposició i tenim:

23 = 1 + 3 + 3 + 4 + 5 + 7

La seva gràfica corresponent seria: