DESIGUALTAT DE EL TRIANGLE: DEMOSTRACIÓ, EXEMPLES, EXERCICIS RESOLTS - MATEMÀTIQUES - 2025

S'anomena desigualtat de el triangle a la propietat que compleixen dos nombres reals consistents en què el valor absolut de la seva suma sempre és menor o igual a la suma dels seus valors absoluts. Aquesta propietat també és coneguda com a desigualtat de Minkowski o desigualtat triangular.

Aquesta propietat dels nombres s'anomena desigualtat triangular perquè en els triangles passa que la longitud d'un costat sempre és menor o igual que la suma dels altres dos, tot i que aquesta desigualtat no sempre s'apliqui en l'àmbit dels triangles.

Figura 1. El valor absolut de la suma de dos nombres sempre és menor o igual que la suma dels seus valors absoluts. (Elaborat per R. Pérez)

Existeixen diverses demostracions de la de la desigualtat triangular en els números reals, però en aquest cas triarem una basada en les propietats de la valor absolut i de l'binomi a l'quadrat.

Teorema: Per a tot parell de nombres aib pertanyent als nombres reals s'ha de:

- a + b - ≤ - a - + - b -

demostració

Comencem per considerar el primer membre de la desigualtat, el qual s'elevarà a l'quadrat:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (eq. 1)

En el pas anterior s'ha fet servir la propietat que un nombre qualsevol elevat a el quadrat és igual a el valor absolut del número elevat a el quadrat, és a dir: -x- ^ 2 = x ^ 2. També s'ha usat el desenvolupament de l'binomi a l'quadrat.

Tot nombre x és menor o igual que el seu valor absolut. Si el nombre és positiu val la igualtat, però si el número és negatiu el mateix serà sempre menor que un nombre positiu. En aquest cas el seu propi valor absolut, és a dir que pot afirmar-se que x ≤ - x -.

El producte (ab) és un nombre, per tant s'aplica que (ab) ≤ - ab -. Quan s'aplica aquesta propietat a la (ec. 1) ens queda:

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (eq. 2)

Tenint en compte que - a b - = - b - la (eq. 2) pot ser escrita de la següent manera:

- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (eq. 3)

Però com hem dit abans que el quadrat d'un nombre és igual a el valor absolut de l'nombre elevat a el quadrat, llavors l'equació 3 pot ser reescrita de la següent manera:

- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (eq. 4)

En el segon membre de la desigualtat es reconeix un producte notable, el qual al l'ésser aplicat condueix a:

- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (eq. 5)

En l'expressió anterior ha de notar que els valors a elevar a l'quadrat en els dos membres de la desigualtat són positius per tant ha de complir-se també que:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (eq. 6)

L'expressió anterior és exactament el que es volia demostrar.

exemples

A continuació comprovarem la desigualtat triangular amb diversos exemples.

exemple 1

Es pren el valor a = 2 i el valor b = 5, és a dir tots dos nombres positius i vam comprovar si es compleix o no la desigualtat.

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

Es verifica la igualtat, per tant s'ha complert el teorema de la desigualtat de el triangle.

exemple 2

Es trien els següents valors a = 2 ib = -5, és a dir un nombre positiu i l'altre negatiu, vam comprovar si es compleix o no la desigualtat.

- 2 - 5 - ≤ -2- + --5-

- -3 - ≤ -2- + --5-

3 ≤ 2 + 5

Es compleix la desigualtat, per tant s'ha verificat el teorema de la desigualtat triangular.

exemple 3

Es pren el valor a = -2 i el valor b = 5, és a dir un nombre negatiu i l'altre positiu, vam comprovar si es compleix o no la desigualtat.

- -2 + 5 - ≤ --2- + -5-

- 3 - ≤ --2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

Es verifica la desigualtat, per tant s'ha complert el teorema.

exemple 4

Es trien els següents valors a = -2 ib = -5, és a dir tots dos nombres negatius i vam comprovar si es compleix o no la desigualtat.

- -2 - 5 - ≤ --2- + --5-

- -7 - ≤ --2- + --5-

7 ≤ 2+ 5

Es verifica la igualtat, per tant s'ha complert el teorema de la desigualtat de Minkowski.

exemple 5

Es pren el valor a = 0 i el valor b = 5, és a dir un número zero i l'altre positiu, a continuació comprovem si es compleix o no la desigualtat.

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0 + 5

Es compleix la igualtat, per tant s'ha verificat el teorema de la desigualtat de el triangle.

exemple 6

Es pren el valor a = 0 i el valor b = -7, és a dir un número zero i l'altre positiu, a continuació comprovem si es compleix o no la desigualtat.

- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0 + 7

Es verifica la igualtat, per tant s'ha complert el teorema de la desigualtat triangular.

exercicis resolts

En els següents exercicis representi geomètricament la desigualtat de el triangle o desigualtat de Minkowski per als nombres a i b.

El nombre a es representarà com un segment en l'eix X, el seu origen O coincideix amb el zero de l'eix X i l'altre extrem de l'segment (en el punt P) serà a la direcció positiva (cap a la dreta) de l'eix X si a > 0, però si a <0 estarà cap a la direcció negativa de l'eix X, tantes unitats com indiqui el seu valor absolut.

De manera similar el nombre b es representarà com un segment que té l'origen sobre el punt P. L'altre extrem, és a dir el punt Q estarà a la dreta de P si b és positiu (b> 0) i el punt Q estarà -b - unitats a l'esquerra de P si b <0.

exercici 1

Representeu gràficament la desigualtat de el triangle per a = 5 ib = 3 - a + b - ≤ - a - + - b -, sent c = a + b.

exercici 2

Realitzar un gràfic de la desigualtat triangular per a = 5 ib = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, sent c = a + b.

exercici 3

Mostra gràficament la desigualtat de el triangle per a = -5 ib = 3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, sent c = a + b.

exercici 4

Construir gràficament la desigualtat triangular per a = -5 ib = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, sent c = a + b.

referències

1. E. Whitesitt. (1980).Álgebra Booleana i les seves Aplicacions. Companyia Editorial Continental CA
2. Mícheál O 'Searcoid. (2003) Elements of Abstract Analysis.. Department of mathematics. University College Dublin, Beldfield, Dublind.
3. J. Van Wyk. (2006) Mathematics and Engineering in Computer Science. Institute for Computer Sciences and Technology. National Bureau of Standards. Washington, DC 20234
4. Eric Lehman. Mathematics for Computer Science. Google Inc.
5. F Thomson Leighton (1980). Calculus. Department of Mathematics and the Computer Science and AI Laboratory, Massachusetts Institute of Technology.
6. Khan Academy. Triangle Inequality Theorem. Recuperat de: khanacademy.org
7. Wikipedia. Desigualtat triangular. Recuperat de: és. wikipedia.com