DESCOMPOSICIÓ DE NOMBRES NATURALS (EXEMPLES I EXERCICIS) - MATEMÀTIQUES - 2025

La descomposició de nombres naturals es poden donar de diferents formes: com a producte de factors primers, com a suma de potències de dos i descomposició additiva. A continuació s'explicaran detalladament.

Una propietat útil que tenen les potències de dos és que amb elles es pot convertir un nombre de sistema decimal a un nombre de sistema binari. Per exemple, 7 (nombre en el sistema decimal) és equivalent a el nombre 111, ja que 7 = (2 ^ 2) + (2 ^ 1) + (2 ^ 0).

Els nombres naturals s'utilitzen per explicar

Els nombres naturals són els nombres amb què es pot comptar i enumerar objectes. En la majoria dels casos, es considera que els nombres naturals comencen des 1. Aquests nombres són ensenyats a l'escola i són útils en gairebé totes les activitats de la vida quotidiana.

Formes de descompondre nombres naturals

Com es va esmentar abans, a continuació es presentaran tres maneres diferents de descompondre els nombres naturals.

Descomposició com a producte de factors primers

Tot nombre natural es pot expressar com a producte de nombres primers. Si el nombre ja és primer, la seva descomposició és ell mateix multiplicat per un.

Si no, es divideix entre el menor nombre primer pel qual sigui divisible (pot ser una o diverses vegades), fins a obtenir un nombre primer.

Per exemple:

5 = 5 * 1.

15 = 3 * 5.

28 = 2 * 2 * 7.

624 = 2 * 312 = 2 * 2 * 156 = 2 * 2 * 2 * 78 = 2 * 2 * 2 * 2 * 39 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 13.

175 = 5 * 35 = 5 * 5 * 7.

Descomposició com a suma de potències de 2

Una altra propietat interessant és que qualsevol nombre natural es pot expressar com a suma de potències de 2. Per exemple:

1 = 2 ^ 0.

2 = 2 ^ 1.

3 = 2 ^ 1 + 2 ^ 0.

4 = 2 ^ 2.

5 = 2 ^ 2 + 2 ^ 0.

6 = 2 ^ 2 + 2 ^ 1.

7 = 2 ^ 2 + 2 ^ 1 + 2 ^ 0.

8 = 2 ^ 3.

15 = 2 ^ 3 + 2 ^ 2 + 2 ^ 1 + 2 ^ 0.

descomposició additiva

Una altra manera de descompondre els nombres naturals és considerant el seu sistema de numeració decimal i el valor posicional de cada xifra.

Això s'obté considerant les xifres de dreta a esquerra i començant amb unitat, desena, centena, unitat de miler, desena de miler, centena de mil, unitat de milió, etc. Aquesta unitat es multiplica pel sistema de numeració corresponent.

Per exemple:

239 = 2 * 100 + 3 * 10 +9 * 1 = 200 + 30 + 9.

4893 = 4 * 1000 + 8 * 100 +9 * 10 + 3 * 1.

Exercicis i solucions

Penseu el nombre 865236. Halle seva descomposició en producte de nombres primers, en suma de potències de 2 i la seva descomposició additiva.

Descomposició en producte de nombres primers

-Com 865.236 és parell, es estar segur que el menor cosí pel qual és divisible és 2.

-Dividiendo entre 2 s'obté: 865.236 = 2 * 432.618. Novament s'obté un nombre parell.

-Es segueix dividint fins que s'obtingui un nombre imparell. Després: 865.236 = 2 * 432.618 = 2 * 2 * 216.309.

-El últim número és imparell, però és divisible per 3 ja que la suma dels seus dígits ho és.

-Així, 865.236 = 2 * 432.618 = 2 * 2 * 216.309 = 2 * 2 * 3 * 72103. El nombre 72103 és primer.

-Per tant la descomposició desitjada és l'última.

descomposició

-Es busca la major potència de 2 que s'aproximi més a 865.236.

-Aquesta és 2 ^ 19 = 524288. Ara es repeteix el mateix per la diferència 865.236-524.288 = 340.948.

-La potència més propera en aquest cas és 2 ^ 18 = 262144. Es segueix ara amb 340.948-262.144 = 78.804.

-En aquest cas la potència més propera és 2 ^ 16 = 65536. Continua 78.804-65.536 = 13268 i s'obté que la potència més propera és 2 ^ 13 = 8192.

-Ara amb 13268 - 8192 = 5076 i s'obté 2 ^ 12 = 4096.

-Després amb 5076 - 4096 = 980 i es té 2 ^ 9 = 512. Se segueix amb 980-512 = 468, i la potència més propera es 2 ^ 8 = 256.

-Ara ve 468-256 = 212 amb 2 ^ 7 = 128.

-Després, 212 - 128 = 84 amb 2 ^ 6 = 64.

-Ara 84-64 = 20 amb 2 ^ 4 = 16.

-I finalment 20-16 = 4 amb 2 ^ 2 = 4.

Finalment s'ha de:

865.236 = 2 ^ 19 + 2 ^ 18 + 2 ^ 16 + 2 ^ 13 + 2 ^ 12 + 2 ^ 9 + 2 ^ 8 + 2 ^ 7 + 2 ^ 6 +2 ^ 4 + 2 ^ 2.

descomposició additiva

Identificant les unitats s'ha de la unitat correspon a el número 6, la desena a 3, la centena a 2, la unitat de mil a 5, la desena de mil a 6 i la centena de mil a 8.

després, 865.236 = 8 * 100.000 + 6 * 10.000 + 5 * 1.000 + 2 * 100 + 3 * 10 +6

= 800.000 + 60.000 + 5.000 + 200 + 30 + 6.

referències

1. Barker, L. (2011). Leveled Texts for Mathematics: Number and Operations. Teacher Created Materials.
2. Burton, M., French, C., & Jones, T. (2011). We Utilitza Numbers. Benchmark Education Company.
3. Doudna, K. (2010). No One Slumbers When We Utilitza Numbers! ABDO Publishing Company.
4. Fernández, JM (1996). Chemical Bond Approach project. Reverte.
5. Hernández, J. d. (Sf). Quadern de Matemàtiques. Llindar.
6. Lahora, MC (1992). Activitats matemàtiques amb nens de 0 a 6 anys. Narcea Edicions.
7. Marín, I. (1991). Gramàtica espanyola. Editorial Progrés.
8. Tocci, RJ, & Widmer, NS (2003). Sistemes digitals: principis i aplicacions. Pearson Educació.