- La derivada com a pendent de la recta tangent a una corba
- La derivada com a velocitat instantània d'un objecte en moviment
- funció algebraica
- Regles de derivació
- Derivada d'una constant
- Derivada d'una potència
- Derivada d'una suma i d'una resta
- Derivada d'un producte
- Derivada d'un quocient
- Regla de la cadena
- referències
Les derivades algebraiques consisteixen en l'estudi de la derivada en el cas particular de funcions algebraiques. L'origen de la noció de derivada es remunta a l'Antiga Grècia. El desenvolupament d'aquesta noció va estar motivada per la necessitat de resoldre dos problemes importants, un a física i un altre en matemàtiques.
En física, la derivada resol el problema de determinar la velocitat instantània d'un objecte en moviment. En matemàtiques, permet trobar la recta tangent a una corba en un punt donat.
Encara que realment són molts més els problemes que es resolen fent ús de la derivada, així com els seus generalitzacions, resultats que van venir posteriorment a la introducció del seu concepte.
Els pioners de l'càlcul diferencial són Newton i Leibniz. Abans de donar la definició formal, desenvoluparem la idea que hi ha darrere, des del punt de vista matemàtic i físic.
La derivada com a pendent de la recta tangent a una corba
Suposem que el gràfic d'una funció y = f (x) és un gràfic continu (sense pics o vèrtexs ni separacions), i sigui A = (a, f (a)) un punt fix sobre ell. Volem trobar l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f en el punt A.
Prenguem un altre punt qualsevol P = (x, f (x)) de l'gràfic, proper a el punt A, i tracem la recta secant que passa per A i per P. Una recta secant és una recta que talla a l'gràfic d'una corba en un o més punts.
Per obtenir la recta tangent que volem, només cal calcular el pendent doncs ja tenim un punt de la recta: el punt A.
Si movem el punt P pel gràfic i el apropem cada vegada més a punt A, la recta secant anteriorment esmentada s'aproximarà a la recta tangent que es vol trobar. Prenent el límit quan "P tendeix a A", ambdues rectes coincidiran, per tant els seus pendents també.
El pendent de la recta secant ve donada per
Dir que P s'aproxima a A, és equivalent a dir que "x" s'aproxima a "a". Així, el pendent de la recta tangent a la gràfica de f en el punt A, serà igual a:
L'expressió anterior es denota per f '(a), i es defineix com la derivada d'una funció f en el punt "a". Veiem doncs que analíticament, la derivada d'una funció en un punt és un límit, però geomètricament, és el pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció en el punt.
Ara veurem aquesta noció des del punt de vista de la física. Arribarem a la mateixa expressió de el límit anterior, encara que per un camí diferent, obtenint així la unanimitat de la definició.
La derivada com a velocitat instantània d'un objecte en moviment
Vegem un breu exemple del que significa velocitat instantània. Quan es diu, per exemple, que un automòbil per arribar a una destinació ho va fer amb una velocitat de 100 km per hora, el que significa és que en una hora va recórrer 100 km.
Això no vol dir necessàriament que durant tota l'hora l'automòbil sempre va anar a 100 km, el velocímetre de l'automòbil va poder en alguns instants marcar menys o més. Si va tenir la necessitat de parar-se en un semàfor, la velocitat en aquest instant va ser de 0 km. No obstant això, a el cap d'una hora, el recorregut va ser de 100 km.
Això és el que es coneix com a velocitat mitjana i ve donada pel quocient de la distància recorreguda entre el temps transcorregut, com acabem de veure. La velocitat instantània, per la seva banda, és la que marca l'agulla de l'velocímetre d'un automòbil en un instant (temps) determinat.
Vegem això ara d manera més general. Suposem que un objecte es desplaça al llarg d'una recta i que aquest desplaçament és representat per mitjà de l'equació s = f (t), on la variable t mesura el temps i la variable s el desplaçament, tenint en compte el seu inici en l'instant t = 0, i en aquest moment també és zero, és a dir, f (0) = 0.
Aquesta funció f (t) es coneix com a funció de posició.
Es busca una expressió per a la velocitat instantània de l'objecte en un instant fix "a". A aquesta velocitat la denotarem per V (a).
Sigui t un instant qualsevol proper a l'instant "a". En l'interval de temps que hi ha entre "a" i "t", el canvi de posició l'objecte ve donat per f (t) -f (a).
La velocitat mitjana en aquest interval de temps és:
La qual és una aproximació de la velocitat instantània V (a). Aquesta aproximació serà millor a mesura que t s'acosti més a "a". Per tant, 
Observem que aquesta expressió és igual a l'obtinguda en el cas anterior, però des d'una perspectiva diferent. Això és el que es coneix com la derivada d'una funció f en un punt "a" i es denota per f '(a), com es va dir anteriorment.
Notem que fent el canvi h = xa, s'ha de quan "x" tendeix a "a", "h" tendeix a 0, i el límit anterior es transforma (de manera equivalent) a:
Les dues expressions són equivalents però de vegades convé més utilitzar una en lloc de l'altra, depenent de el cas.
Es defineix llavors de manera més general la derivada d'una funció f en un punt qualsevol "x" pertanyent al seu domini com
La notació més usual per representar la derivada d'una funció y = f (x) és la que acabem de veure (f 'o i'). No obstant això, una altra notació molt usada és la notació de Leibniz que es representa com qualsevol de les següents expressions:
En vista que la derivada és en essència un límit, aquesta pot existir o no, ja que els límits no sempre existeixen. En el cas que existeixi, es diu que la funció en qüestió és diferenciable en el punt donat.
funció algebraica
Una funció algebraica és una combinació de polinomis per mitjà de sumes, restes, productes, quocients, potències i radicals.
Un polinomi és una expressió de la forma
P n = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 +… + a 2 x 2 + a 1 x + a 0
On n és un nombre natural i tots els a i, amb i = 0,1,…, n, són nombres racionals ja n ≠ 0. En aquest cas es diu que el grau d'aquest polinomi és n.
Els següents són exemples de funcions algebraiques:
Aquí no estan incloses les funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques. Les regles de derivació que veurem a continuació són vàlides per a funcions en general, però ens restringirem i les aplicarem en el cas de funcions algebraiques.
Regles de derivació
Derivada d'una constant
Estableix que la derivada d'una constant és zero. És a dir, si f (x) = c, llavors f '(x) = 0. Per exemple, la derivada de la funció constant 2 és igual a 0.
Derivada d'una potència
Si f (x) = x n, llavors f '(x) = nx n-1. Per exemple, la derivada de x 3 és 3x 2. Com a conseqüència d'això, s'obté que la derivada de la funció identitat f (x) = x és f '(x) = 1x 1-1 = x 0 = 1.
Un altre exemple és el següent: sigui f (x) = 1 / x 2, llavors f (x) = x -2 i f '(x) = - 2x -2-1 = -2x -3.
Aquesta propietat també és vàlida arrels, ja que les arrels són potències racionals i es pot aplicar l'anterior també en aquest cas. Per exemple, la derivada d'una arrel quadrada ve donada per
Derivada d'una suma i d'una resta
Si fig són funcions diferenciables en x, llavors la suma f + g també ho és i es compleix que (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).
Anàlogament s'ha de (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). En altres paraules, la derivada d'una suma (resta), és la suma (o resta) de les derivades.
exemple
Si h (x) = x 2 + x-1, llavors
h '(x) = (x 2) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.
Derivada d'un producte
Si fig són funcions diferenciables en x, llavors el producte fg també és diferenciable en x i es compleix que
(Fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).
Com a conseqüència s'ha de si c és una constant i f és una funció diferenciable en x, llavors cf també és diferenciable en x i (cf) '(x) = cf' (X).
exemple
Si f (x) = 3x (x 2 + 1), llavors
f '(x) = (3x)' (x 2 + 1) + (3x) (x 2 + 1) '= 3 (x)' (x 2 + 1) + 3x
= 3 (1) (x 2 + 1) + 3x = 3 (x 2 + 1) + 3x (2x) = 3x 2 + 3 + 6x 2
= 9x 2 + 3.
Derivada d'un quocient
Si fig són diferenciables en xyg (x) ≠ 0, llavors f / g també és diferenciable en x, i es compleix que
Exemple: si h (x) = x 3 / (x 2 -5x), llavors
h '(x) = / (x 5 -5x) 2 = / (x 5 -5x) 2.
Regla de la cadena
Aquesta regla permet derivar la composició de funcions. Estableix el següent: si i = f (u) és diferenciable en u, i u = g (x) és diferenciable en x, llavors la funció composta f (g (x)) és diferenciable en x, i es compleix que '= f '(g (x)) g' (x).
És a dir, la derivada d'una funció composta és el producte de la derivada de la funció externa (derivada externa) per la derivada de la funció interna (derivada interna).
exemple
Si f (x) = (x 4 -2x) 3, llavors
f '(x) = 3 (x 4 -2x) 2 (x 4 -2x)' = 3 (x 4 -2x) 2 (4x 3 -2).
També hi ha resultats per a calcular la derivada de la inversa d'una funció, així com la generalització a derivades d'ordre superior. Les aplicacions són extenses. Entre elles ressalten les seves utilitats en problemes d'optimització i de màxims i mínims de funcions.
referències
- Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Càlcul Diferencial. ITM.
- Cabrera, VM (1997). Càlcul 4000. Editorial Progrés.
- Castaño, HF (2005). Matemàtiques prèvies a el càlcul. Universitat De Medellin.
- Eduard, NA (2003). Introducció a l'Càlcul. Edicions Llindar.
- Fonts, A. (2016). MATEMÀTIQUES BÀSIQUES. Una Introducció a l'Càlcul. Lulu.com.
- Purcell, EJ, Rigdon, ES, & Varberg, DE (2007). Càlcul. Pearson Educació.
- Saenz, J. (2005). Càlcul Diferencial (Segona ed.). Barquisimeto: Hipotenusa.
- Thomas, GB, & Weir, MD (2006). Càlcul: diverses variables. Pearson Educació.