DERIVADES PARCIALS: NOTACIÓ, EXEMPLES I EXERCICIS RESOLTS - MATEMÀTIQUES - 2025

Les derivades parcials d'una funció de diverses variables són les que determinen la taxa de canvi de la funció quan una de les variables té una variació infinitesimal, mentre les altres variables romanen sense canvi.

Per concretar la idea suposem el cas d'una funció de dues variables: z = f (x, y). La derivada parcial de la funció f respecte de la variable x es calcula com la derivada ordinària respecte de x, però prenent a la variable i com si fos constant.

Figura 1. Funció f (x, y) i les seves derivades parcials ∂ _x f i ∂ _i f en el punt P. (Elaborat per R. Pérez amb GeoGebra)

Notació de la derivada parcial

L'operació derivada parcial de la funció f (x, y) respecte de la variable x es denota de qualsevol de les maneres següents:

A les derivades parcials s'usa el símbol ∂ (una mena de lletra d arrodonida també anomenada d de Jacobi), a diferència de la derivada ordinària per a funcions d'una sola variable en què es fa servir la lletra d per derivada.

En termes generals, la derivada parcial d'una funció multivariada, respecte d'una de les seves variables dóna com a resultat una nova funció en les mateixes variable de la funció original:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _i f (x, y) = h (x, y).

Càlcul i significat de la derivada parcial

Per determinar la taxa de canvi o pendent de la funció per a un punt concret (x = a, i = b) en la direcció paral·lela a l'eix X:

1- Es calcula la funció ∂ _x f (x, y) = g (x, y), prenent la derivada ordinària en la variable xi deixant fixa o constant a la variable i.

2- Després se substitueix el valor de el punt x = AEY = b en el qual es desitja conèixer la taxa de canvi de la funció en la direcció x:

{Pendent en la direcció x en el punt (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3- Per calcular la taxa de canvi en la direcció i en el punt de coordenada (a, b) es calcula primer ∂ _i f (x, y) = h (x, y).

4- Després es substitueix el punt (x = a, i = b) en el resultat anterior per obtenir:

{Pendent en la direcció i en el punt (a, b)} = ∂ _i f (a, b)

Exemples de derivades parcials

Alguns exemples de derivades parcials són els següents:

exemple 1

Donada la funció:

f (x, y) = -x ^ 2 - i ^ 2 + 6

Trobar les derivades parcials de la funció f respecte de la variable xi la variable i.

solució:

∂ xf = -2x

∂ f = -2y

Cal notar que per calcular la derivada parcial de la funció f respecte de la variable x, es va efectuar la derivada ordinària respecte de x però la variable i s'ha pres com si fos constant. Similarment, en el càlcul de la derivada parcial de f respecte de i s'ha pres la variable x com si fos una constant.

La funció f (x, y) és una superfície anomenada paraboloide mostrada a la figura 1 en color ocre.

exemple 2

Trobar la taxa de canvi (o pendent) de la funció f (x, y) de l'exemple 1, en la direcció de l'eix X i de l'eix I per al punt (x = 1, y = 2).

Solució: Per trobar els pendents a les adreces xiy en el punt donat, simplement ha de substituir els valors del punt en la funció ∂ _x f (x, y) i en la funció ∂ _i f (x, y):

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _i f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

La figura 1 mostra la recta tangent (en color vermell) a la corba determinada per la intersecció de la funció f (x, y) amb el plànol i = 2, el pendent d'aquesta recta és -2. La figura 1 mostra també la recta tangent (en verd) a la corba que defineix la intersecció de la funció f amb el pla x = 1; aquesta recta té pendent -4.

exercicis

exercici 1

Un got de forma cònica en un instant donat conté aigua de manera que la superfície de l'aigua té radi ri profunditat h. Però el got té un foradet al fons pel qual es perd aigua a un ritme de C centímetres cúbics per segon. Determineu la velocitat de descens de la superfície d'aigua en centímetres per segon.

solució:

En primer lloc cal recordar que el volum de l'aigua en l'instant donat és:

El volum és una funció de dues variables, el radi ri la profunditat h: V (r, h).

Quan el volum canvia en una quantitat infinitesimal dV, també canvia el radi r de la superfície de l'aigua i la profunditat h de l'aigua d'acord amb la següent relació:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

Es procedeix a calcular les derivades parcials de V respecte de RYH respectivament:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

A més el radi ri la profunditat h compleixen la següent relació:

Dividint els dos membres pel diferencial de temps dt s'obté:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

Però dV / dt és el volum d'aigua perdut per unitat de temps que se sap val C centímetres per segon, mentre que dh / dt és la velocitat de descens de la superfície lliure d'aigua, la qual es dirà v. És a dir la superfície d'aigua en l'instant donat descendeix a una velocitat v (en cm / s) donada per:

v = C / (π r ^ 2).

Com a aplicació numèrica, suposem que r = 3 cm, h = 4 cm i el cabal de pèrdua C és 3 cm ^ 3 / s. Llavors la velocitat de descens de la superfície en aquest instant és:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0,11 cm / s = 1,1 mm / s.

exercici 2

El teorema de Clairaut - Schwarz afirma que si una funció és contínua en les seves variables independents i les seves derivades parcials respecte a les variables independents també són contínues, llavors les derivades mixtes de segon ordre poden intercanviar-se. Comprovar aquest teorema per a la funció

f (x, y) = x ^ 2 i, és a dir que s'ha de complir que ∂ _xi f = ∂ _x f.

solució:

∂ _xi f = ∂ _x (∂ _i f) mentre que ∂ _x f = ∂ _i (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _i f = x ^ 2

∂ _xi f = ∂ _x (∂ _i f) = 2x

∂ _x f = ∂ _i (∂ _x f) = 2x

S'ha comprovat que el teorema de Schwarz es compleix, atès que la funció fi les seves derivades parcials són contínues per a tots els nombres reals.

referències

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, I. (2000). Càlcul 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). EL CÀLCUL amb Geometria Analítica. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, ES (2007). Càlcul. Mèxic: Pearson Educació.
4. Saenz, J. (2005). Càlcul Diferencial. Hipotenusa.
5. Saenz, J. (2006). Càlcul Integral. Hipotenusa.
6. Wikipedia. Derivada parcial. Recuperat de: es.wikipedia.com