- ¿D'on sorgeix la regla empírica?
- Teorema de Tchebyshev
- distribució Normal
- ¿Com aplicar la regla empírica?
- 1- Construir els intervals de la regla
- 2- Calcular la quantitat d'estudiants en cada interval d'acord amb els percentatges
- 3- S'associen els intervals d'edats amb les quantitats d'estudiants i s'interpreta
- ¿Perquè serveix la regla empírica?
- exercicis resolts
- Conills en la reserva
- Pes mitjanes de nens d'un país
- referències
Una regla empírica és el resultat de l'experiència pràctica i l'observació de la vida real. Per exemple, es pot saber que espècies d'aus es poden observar en certs llocs en cada època de l'any i d'aquesta observació es pot establir una «regla» que descrigui els cicles de vida d'aquestes aus.
En estadística, la regla empírica fa referència a la forma d'agrupació de les observacions al voltant d'un valor central, la mitjana o mitjana, en unitats de desviació estàndard.
Suposem que es té un grup de persones amb una altura mitjana de 1.62 metres i una desviació estàndard de 0.25 metres, llavors la regla empírica permetria definir, per exemple, quantes persones estarien en un interval de la mitjana més o menys una desviació estàndard?
Segons la regla, el 68% de les dades es troba a més o menys una desviació estàndard de la mitjana, és a dir, el 68% de les persones de el grup tindrà una alçada entre 1.37 (1.62-0.25) i 1.87 (1.62 + 0.25) metres.
¿D'on sorgeix la regla empírica?
La regla empírica és una generalització de l'Teorema de Tchebyshev i de la Distribució Normal.
Teorema de Tchebyshev
El teorema de Tchebyshev diu que: per algun valor de k> 1, la probabilitat que una variable aleatòria es trobi entre la mitjana menys k vegades la desviació estàndard, i la mitjana més k vegades, la desviació estàndard és major o igual que (1 - 1 / k 2).
L'avantatge d'aquest teorema és que s'aplica a variables aleatòries discretes o contínues amb qualsevol distribució de probabilitat, però la regla definida a partir d'ell no sempre és molt precisa, ja que depèn de la simetria de la distribució. Com més asimètrica sigui la distribució de la variable aleatòria, menys ajustada a la regla serà el seu comportament.
La regla empírica definida a partir d'aquest teorema és:
Si k = √2, es diu que el 50% de les dades estan en l'interval:
Si k = 2, es diu que el 75% de les dades estan en l'interval:
Si k = 3, es diu que el 89% de les dades estan en l'interval:
distribució Normal
La distribució normal, o campana de Gauss, permet establir la regla Empírica o Regla 68 - 95 - 99.7.
La regla es basa en les probabilitats d'ocurrència d'una variable aleatòria en intervals entre la mitjana menys una, dues o tres desviacions estàndard i la mitjana més una, dues o tres desviacions estàndard.
La regla empírica defineix els següents intervals:
El 68.27% de les dades estan en l'interval:
El 95.45% de les dades estan en l'interval:
El 99.73% de les dades estan en l'interval:
A la figura es pot observar com es presenten aquests intervals i la relació entre ells a l'augmentar l'ample de la base de la gràfica.
Regla Empírica. Melikamp L'estandardització de la variable aleatòria, és a dir, l'expressió de la variable aleatòria en termes de la variable zo normal estàndard, simplifica l'ús del regle empírica, ja que la variable z té mitjana igual a zero i desviació estàndard igual a un.
Per tant, l'aplicació de la regla empírica en escala d'una variable normal estàndard, z, defineix els següents intervals:
El 68.27% de les dades estan en l'interval:
El 95.45% de les dades estan en l'interval:
El 99.73% de les dades estan en l'interval:
¿Com aplicar la regla empírica?
La regla empírica permet abreujar càlculs quan es treballa amb una distribució normal.
Suposem que un grup de 100 estudiants universitaris té una edat mitjana de 23 anys, amb una desviació estàndard de 2 anys. Quina informació permet obtenir la regla empírica?
L'aplicació de la regla empírica implica seguir els passos:
1- Construir els intervals de la regla
Atès que la mitjana és 23 i la desviació estàndard és 2, llavors els intervals són:
= =
= =
= =
2- Calcular la quantitat d'estudiants en cada interval d'acord amb els percentatges
(100) * 68.27% = 68 estudiants aproximadament
(100) * 95.45% = 95 estudiants aproximadament
(100) * 99.73% = 100 estudiants aproximadament
3- S'associen els intervals d'edats amb les quantitats d'estudiants i s'interpreta
A el menys 68 estudiants tenen entre 21 i 25 anys d'edat.
A el menys 95 estudiants tenen entre 19 i 27 anys d'edat.
Pràcticament els 100 estudiants tenen entre 17 i 29 anys d'edat.
¿Perquè serveix la regla empírica?
La regla empírica és una manera ràpida i pràctica d'analitzar dades estadístiques, sent cada vegada més fiable en la mesura que la distribució s'apropa a la simetria.
La seva utilitat depèn de camp en què es faci servir i de les preguntes que es presentin. És molt útil saber que és gairebé improbable l'ocurrència de valors de tres desviacions estàndard per sota o per sobre de la mitjana, fins i tot per a les variables de distribució no normal, al menys el 88.8% dels casos està en l'interval de tres sigma.
En les ciències socials, un resultat generalment concloent és l'interval de la mitjana més o menys dos sigma (95%), mentre que en física de partícules, un nou efecte requereix un interval 5 sigmes (99.99994%) per considerar-se un descobriment.
exercicis resolts
Conills en la reserva
En una reserva de fauna silvestre s'estima que hi ha una mitjana de 16.000 conills amb una desviació estàndard de 500 conills. Si es desconeix la distribució de la variable 'nombre de conills a la reserva', ¿és possible estimar quina és la probabilitat que la població de conills estigui entre 15.000 i 17.000 conills?
Es pot presentar l'interval en aquests termes:
15000 = 16000 - 1000 = 16000 - 2 (500) = μ - 2 s
17000 = 16000 + 1000 = 16000 + 2 (500) = μ + 2 s
Per tant: =
Aplicant el teorema de Tchebyshev, es té una probabilitat de al menys el 0.75 que la població de conills de la reserva de fauna silvestre estigui entre 15.000 i 17.000 conills.
Pes mitjanes de nens d'un país
El pes mitjà de nens d'un any en un país es distribueix normalment amb una mitjana de 10 quilograms i una desviació estàndard d'aproximadament 1 quilogram.
a) Estimar el percentatge de nens d'un any al país que tenen un pes mitjana entre 8 i 12 quilograms.
8 = 10 - 2 = 10 - 2 (1) = μ - 2 s
12 = 10 + 2 = 10 + 2 (1) = μ + 2 s
Per tant: =
Segons la regla empírica es pot afirmar que el 68.27% dels nens d'un any de país tenen entre 8 i 12 quilograms de pes.
b) Quina és la probabilitat de trobar un nen d'un any de 7 quilograms o menys de pes?
7 = 10 - 3 = 10 - 3 (1) = μ - 3 s
Se sap que 7 quilograms de pes representa el valor μ - 3s, així com també es coneix que el 99.73% dels nens estan entre 7 i 13 quilograms de pes. Això deixa només el 0,27% de l'total de nens per als extrems. La meitat d'ells, el 0,135%, té 7 quilograms de pes o menys i l'altra meitat, 0.135%, té 11 quilograms de pes o més.
Llavors, es pot concloure que hi ha una probabilitat de 0,00135 que un nen tingui 7 quilograms de pes o menys.
c) Si la població de país arriba a 50 milions d'habitants i els nens d'1 any representen l'1% de la població de país, Quants nens d'un any tindran un pes entre 9 i 11 quilograms?
9 = 10 - 1 = μ - s
11 = 10 + 1 = μ + s
Per tant: =
D'acord amb la regla empírica, el 68.27% dels nens d'un any al país estan en l'interval
Al país hi ha 500000 nens d'un any (l'1% de 50 milions), de manera que 341.350 nens (el 68.27% de 500000) tenen entre 9 i 11 quilograms de pes.
referències
- Abraira, V. (2002). Desviació estàndard i error estàndard. Revista Semergen. Recuperat de web.archive.org.
- Freund, R.; Wilson, W.; Mohr, D. (2010). Statistical methods. Third ed. Academic Press-Elsevier Inc.
- servidor Alacant (2017). Regla empírica (Termes estadístics). Recuperat de glosarios.servidor-alicante.com.
- Lind, D.; Marchal, W.; Wathen, S. (2012). Estadística aplicada als negocis i l'economia. Quinzena ed. McGraw-Hill / Interamericana de Mèxic SA
- Salinas, H. (2010). Estadística i probabilitats. Recuperat de uda.cl.
- Sokal, R.; Rohlf, F. (2009). Introduction to biostatistics. Second ed. Dover publications, Inc.
- Spiegel, M. (1976). Probabilitat i estadística. Sèrie Schaum. McGraw-Hill / Interamericana de Mèxic SA
- Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Estadística. Quarta ed. McGraw-Hill / Interamericana de Mèxic SA
- Stat119 Review (2019). Solving empirical rule questions. Recuperat de stat119review.com.
- (2019). 68-95-99.7 rule. Recuperat de en.wikipedia.org.