QUÈ ÉS EL RANG EN ESTADÍSTICA? (AMB EXEMPLES) - DUDAS - 2026

El rang, recorregut o amplitud, en estadística, és la diferència (resta) entre el valor màxim i el valor mínim d'un conjunt de dades provinents d'una mostra o d'una població. Si es representa a la franja amb la lletra R ia les dades mitjançant x, la fórmula per al rang és simplement:

R = x _màx - x _mín

On x _màx és el valor màxim de les dades i x _min és el mínim.

Figura 1. Rang de les dades corresponents a la població de Cadis en els últims dos segles. Font: Wikimedia Commons.

El concepte és molt útil com a mesura de dispersió senzilla per apreciar ràpidament la variabilitat de les dades, ja que indica l'extensió o longitud d'l'interval on es troben aquests.

Per exemple, suposem que es mesura l'estatura d'un grup de 25 estudiants homes de el primer any d'enginyeria en una universitat. L'estudiant més alt de el grup mesura 1.93 mi el més baix 1.67 m. Aquests són els valors extrems de les dades de la mostra, per tant el recorregut dels mateixos és:

R = 1.93 - 1.67 m = 0.26 mo 26 cm.

L'estatura dels alumnes d'aquest grup es distribueix al llarg d'aquest rang.

Avantatges i desavantatges

El rang és, com hem dit abans, una mesura de com de dispersos estan les dades. Un rang petit indica que les dades estan més o menys propers i la dispersió és poca. En canvi un rang més gran és indicatiu que les dades estan més dispersos.

Els avantatges de calcular el rang són evidents: és molt senzill i ràpid de trobar, ja que és una simple diferència.

A més té les mateixes unitats que les dades amb les quals es treballa i el concepte és molt fàcil d'interpretar per a qualsevol observador.

En l'exemple de l'estatura dels estudiants d'enginyeria, si el rang hagués estat de 5 cm, diríem que els alumnes són tots aproximadament de la mateixa mida. Però amb un rang de 26 cm, suposem immediatament que en la mostra hi ha alumnes de totes les alçades intermèdies. Sempre s'encerta amb aquesta suposició?

Desavantatges de la franja com a mesura de dispersió

Si ens fixem amb compte, pot ser que en la nostra mostra de 25 estudiants d'enginyeria, solament un d'ells mesura 1.93 i els restants 24 tenen alçàries properes a 1.67 m.

I no obstant això el rang segueix sent el mateix, encara que és perfectament possible que passi el contrari: que l'alçària de la majoria oscil·li al voltant de l'1.90 mi només un mesura 1.67 m.

En qualsevol dels casos, la distribució de les dades és ben diferent.

Els desavantatges de la franja com a mesura de dispersió es deuen al fet que només usa els valors extrems i ignora tots els altres. Com la major part de la informació es perd, no té idea de com es distribueixen les dades de la mostra.

Una altra característica important és que el rang de la mostra mai disminueix. Si afegim més informació, és a dir, considerem més dades, el rang augmenta o es queda igual.

I en tot cas, és útil només quan es treballa amb mostres petites, i no és recomanable el seu ús únic com a mesura de dispersió en mostres grans.

El que cal fer és complementar amb el càlcul d'altres mesures de dispersió que sí que tinguin en compte la informació que subministra el total de les dades: recorregut interquartílic, variància, desviació estàndard i coeficient de variació.

Recorregut interquartil, quartils i exemple resolt

Ens hem adonat que la debilitat de la franja com a mesura de dispersió és que només fa ús dels valors extrems de la distribució de les dades, ometent els altres.

Per evitar aquest inconvenient es fan servir els quartils: tres valors coneguts com a mesures de posició.

Elles distribueixen les dades no agrupades en quatre parts (altres mesures de posició molt utilitzades són els decils i els percentils). Aquestes són les seves característiques:

-El primer quartil Q ₁ és el valor de les dades tal que el 25% de tots ells és menor que Q ₁.

-El segon quartil Q ₂ és la mitjana de la distribució, la qual cosa vol dir que la meitat (50%) de les dades és menor a aquest valor.

-Finalment el tercer quartil Q ₃ assenyala que el 75% de les dades són menors a Q ₃.

Llavors, es defineix el rang interquartil o recorregut interquartílic com la diferència entre el tercer quartil Q ₃ i el primer quartil Q ₁ de les dades:

Recorregut interquartil = R _Q = Q ₃ - Q ₁

D'aquesta manera, el valor de la franja R _Q no resulta tan afectat pels valors extrems. Per això és recomanable usar-lo quan es tracta de distribucions esbiaixades, com podrien ser-ho les dels alumnes molt alts o molt baixos descrites anteriorment.

- Càlcul dels quartils

Hi ha diverses maneres de calcular-los, aquí proposarem 1, però en tot cas cal saber el número d'ordre "N _o ", que és el lloc que ocupa el respectiu quartil en la distribució.

És a dir, si per exemple el terme que correspon a Q ₁ és el segon, el tercer o el quart i així successivament de la distribució.

primer quartil

N _o (Q ₁) = (N + 1) / 4

Segon quartil o mitjana

N _o (Q ₂) = (N + 1) / 2

tercer quartil

N _o (Q ₃) = 3 (N + 1) / 4

On N és el nombre de dades.

La mediana és el valor que està al bell mig de la distribució. Si el nombre de dades és imparell no hi ha problema en trobar-la, però si és parell, llavors es fa la mitjana dels dos valors centrals per convertir-los en un de sol.

Un cop calculat el número d'ordre se segueix alguna d'aquestes tres regles:

-Si no té decimals, es busca la dada indicat en la distribució i aquest serà el quartil buscat.

-Quan el número d'ordre està a mig camí entre dos, llavors es fa la mitjana la dada indicat per la part sencera amb la dada següent, i el resultat és el quartil corresponent.

-En qualsevol altre cas, s'arrodoneix a l'enter més proper i aquesta serà la posició de l'quartil.

exemple resolt

En una escala de l'0 a l'20, un grup de 16 estudiants de matemàtiques I va obtenir les següents qualificacions (punts) en un examen parcial:

16, 10, 12, 8, 9, 15, 18, 20, 9, 11, 1, 13, 17, 9, 10, 14

trobar:

a) El rang o recorregut de les dades.

b) Els valors dels quartils Q ₁ i Q ₃

c) El rang interquartil.

Figura 2. Les qualificacions d'aquest examen de Matemàtiques tenen tanta variabilitat? Font: Pixabay.

solució a

El primer que hi ha de fer per trobar el recorregut és ordenar les dades de forma creixent o decreixent. Per exemple en ordre creixent es té:

1, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20

Mitjançant la fórmula donada a l'començament: R = x _màx - x _mín

R = 20-1 punts = 19 punts.

D'acord a l'resultat, aquestes qualificacions tenen una gran dispersió.

solució b

N = 16

N _o (Q ₁) = (N + 1) / 4 = (16 + 1) / 4 = 17/4 = 4.25

És un nombre amb decimals, la part sencera és 4. Llavors anem a la distribució, es busca la dada que ocupa el quart lloc i es fa la mitjana el seu valor amb el de la cinquena posició. Com tots dos són 9, la mitjana també és 9 i llavors:

Q ₁ = 9

Ara repetim el procediment per a trobar Q ₃:

N _o (Q ₃) = 3 (N + 1) / 4 = 3 (16 + 1) / 4 = 12.75

Novament és un decimal, però com que no està a meitat de camí s'arrodoneix a 13. El quartil buscat ocupa la tretzena posició i és:

Q ₃ = 16

solució c

R _Q = Q ₃ - Q ₁ = 16. - 9 = 7 punts.

Que com veiem és molt menor que el rang de dades calculat en l'apartat a), perquè la qualificació mínima va ser de 1 punt, un valor força més allunyat de la resta.

referències

1. Berenson, M. 1985. Estadística per a administració i economia. Interamericana SA
2. Canavos, G. 1988. Probabilitat i Estadística: Aplicacions i mètodes. McGraw Hill.
3. Devori, J. 2012. Probability and Statistics for Engineering and Science. 8th. Edition. Cengage.
4. Exemples de quartils. Recuperat de: matematicas10.net.
5. Levin, R. 1988. Estadística per a Administradors. 2dóna. Edició. Prentice Hall.
6. Walpole, R. 2007. Probabilitat i Estadística per Enginyeria i Ciències. Pearson.