La prova de Tukey és un mètode que té com a fi comparar les mitjanes individuals provinents d'una anàlisi de variància de diverses mostres sotmeses a tractaments diferents.
El test, presentat l'any 1949 per John.W. Tukey, permet discernir si els resultats obtinguts són significativament diferents o no. Se li coneix també com la prova de diferència honestament significativa de Tukey (Tukey 's HSD test per les sigles en anglès).
Figura 1. La prova de Tukey permet discernir si les diferències de resultat entre tres o més tractaments diferents aplicat a tres o més grups d'iguals característiques, tenen valors mitjans significativa i honestament diferents.
En els experiments on es compara entre tres o més tractaments diferents aplicats a igual nombre de mostres, es requereix discernir si els resultats són significativament diferents o no.
Es diu que un experiment és balancejat quan la mida de totes les mostres estadístiques és igual en cada tractament. Quan la mida de les mostres és diferent per a cada tractament, es té llavors un experiment no balancejat.
De vegades no n'hi ha prou amb una anàlisi de variància (ANOVA) per saber si en la comparativa de diferents tractaments (o experiments) aplicada a diverses mostres compleixen la hipòtesi nul·la (Ho: "tots els tractaments són iguals") o per contra es compleix la hipòtesi alternativa (ha: "almenys un dels tractaments és diferent").
La prova de Tukey no és única, i hi ha moltes més proves per comparar mitjanes mostrals, però aquesta és una de la més conegudes i aplicades.
Comparador i taula de Tukey
En l'aplicació d'aquesta prova es calcula un valor w anomenat el comparador de Tukey la definició és la següent:
w = q √ (MSE / r)
On el factor q s'obté d'una taula (Taula de Tukey), que consta de files de valors q per diferent nombre de tractaments o experiments. Les columnes indiquen el valor de factor q per diferents graus de llibertat. Normalment les taules disponibles tenen significancias relatives de 0.05 i 0.01.
En aquesta fórmula, dins de l'arrel quadrada apareix el factor MSE (Quadrat Mitjà de l'Error) dividit entre r, que indica el nombre de repeticions. El MSE és un nombre que s'obté normalment a partir d'una anàlisi de variàncies (ANOVA).
Quan la diferència entre dos valors mitjans sobrepassa a la valor w (comparador de Tukey), llavors es conclou que es tracta de mitjanes diferents, però si la diferència és menor que el nombre de Tukey, llavors es tracta de dues mostres amb valor mitjà estadísticament idèntic.
A el nombre w se li coneix també com a número HSD (Diferència Honestament Significativa).
Aquest únic número de comparació pot aplicar-se si el nombre de les mostres aplicades per a la prova de cada tractament és igual en cada un d'ells.
experiments desbalanceados
Quan per algun motiu la mida de les mostres és diferent en cada tractament a comparar, llavors el procediment descrit anteriorment difereix lleugerament i es coneix com a prova de Tukey-Kramer.
Ara s'obté un nombre w comparador per a cada parell de tractaments i, j:
w (i, j) = q √ (½ MSE / (ri + rj))
En aquesta fórmula, el factor q s'obté de la taula de Tukey. Aquest factor q depèn de el nombre de tractaments i els graus de llibertat de l'error. r i és el nombre de repeticions en el tractament i, mentre que r j és el nombre de repeticions en el tractament j.
Cas d'exemple
Un criador de conills desitja fer un estudi estadístic fiable que li indiqui saber quina de les quatre marques d'aliment d'engreix de conills és la més efectiva. Per a l'estudi forma quatre grups amb sis conills de mes i mig d'edat que fins a aquest moment van tenir les mateixes condicions d'alimentació.
Les raons van ser que en els grups A1 i A4 van ocórrer defuncions per causes no atribuïbles als aliments, ja que un dels conills va ser picat per un insecte i en l'altre cas segurament la defunció va ser causa d'un defecte congènit. De manera que els grups queden desbalanceados i aleshores cal aplicar la prova de Tukey-Kramer.
exercici resolt
Per no allargar massa els càlculs, s'ha de prendre com a exercici resolt un cas d'experiment balancejat. Es prendrà com a dades els següents:
En aquest cas es tenen quatre grups corresponents a quatre tractaments diferents. No obstant això, observem que tots els grups tenen el mateix nombre de dades, de manera que es tracta llavors d'un cas balancejat.
Per realitzar l'anàlisi ANOVA s'ha fet servir l'eina que ve incorporada en el full de càlcul de LibreOffice. Altres fulls de càlcul com Excel tenen incorporada aquesta eina per a l'anàlisi de dades. A continuació es mostra una taula resum que ha resultat després d'haver-se realitzat l'anàlisi de variància (ANOVA):
De l'anàlisi de variància també es té el valor P, que per a l'exemple és 2,24E-6 molt per sota de l'0,05 de l'nivell de significació, el que directament condueix a rebutjar la hipòtesi nul·la: Tots els tractaments són iguals.
És a dir, entre els tractaments alguns tenen valors mitjans diferents, però cal saber quins són els significativa i honestament diferents (HSD) des del punt de vista estadístic usant la prova de Tukey.
Per a trobar el nombre wo com també se li coneix el nombre HSD requerim trobar el quadrat mitjà de l'error MSE. De l'anàlisi ANOVA s'obté que la suma de quadrats dins dels grups és SS = 0,2; i el nombre de graus de llibertat dins dels grups és df = 16 amb aquestes dades podem trobar MSE:
MSE = SS / df = 0,2 / 16 = 0,0125
També es requereix trobar el factor q de Tukey, usant la taula. Es busca a la columna 4 que correspon als 4 grups o tractaments a comparar i la fila 16, ja que l'anàlisi ANOVA va llançar 16 graus de llibertat dins dels grups. Això ens condueix a un valor de q igual a: q = 4,33 corresponent a 0,05 de significació o 95% de fiabilitat. Finalment es troba el valor per a la "diferència honestament significativa":
w = HSD = q √ (MSE / r) = 4,33 √ (0,0125 / 5) = 0,2165
Per saber quins són els grups o tractaments honestament diferents cal conèixer els valors mitjans de cada tractament:
També cal conèixer les diferències entre els valors mitjans de parells de tractaments, la qual cosa es mostra a la següent taula:
Es conclou que els millors tractaments, quant a maximitzar el resultat són el T1 o el T3, els quals són indiferents des del punt de vista estadístic. Per triar entre T1 i T3, caldria buscar altres factors aliens a l'anàlisi presentada aquí. Per exemple, preu, disponibilitat, etc.
referències
- Cochran William i Cox Gertrude. 1974. Dissenys experimentals. Trillas. Mèxic. Tercera reimpressió. 661p.
- Snedecor, GW and Cochran, WG 1980. Statistical methods. Seventh Ed. Iowa, The Iowa State University Press. 507p.
- Steel, RGD i Torrie, JH 1980. Principles and procedures of Statistics: A Biometrical Approach (2nd Ed.). McGraw-Hill, New York. 629p.
- Tukey, JW 1949. Comparing individual means in the analysis of variance. Biometrics, 5: 99-114.
- Wikipedia. Tukey 's test. Recuperat de: en.wikipedia.com