PROBABILITAT TEÒRICA: COM TREURE-LA, EXEMPLES, EXERCICIS - DUDAS - 2024

La probabilitat teòrica (o de Laplace) que ocorri un esdeveniment I que pertany a un espai mostral S, en el qual tots els esdeveniments tenen igual probabilitat d'ocurrència, es defineix en notació matemàtica com: P (E) = n (E) / N (S)

On P (E) és la probabilitat, donada com el quocient entre el nombre total de possibles resultats de l'esdeveniment I, a el qual anomenem n (E), dividit entre el nombre total N (S) de possibles resultats en l'espai mostral S.

Figura 1. En el llançament d'un dau de sis cares, la probabilitat teòrica que el costat amb tres puntets quedi a la part superior és ⅙. Font: Pixabay.

La probabilitat teòrica és un nombre real comprès entre 0 i 1, però freqüentment s'expressa en forma de percentatge, en aquest cas la probabilitat serà un valor comprès entre 0% i 100%.

Calcular la probabilitat d'ocurrència d'un esdeveniment és molt important en molts camps, com ara l'activitat borsària, les companyies d'assegurances, els jocs d'atzar i molts més.

Com treure la probabilitat teòrica?

Un cas il·lustratiu és el cas de les rifes o loteries. Supose que s'emeten 1.000 butlletes per rifar un telèfon intel·ligent. Com el sorteig es fa en forma aleatòria, qualsevol de les butlletes té igual possibilitat de ser guanyador.

Per trobar la probabilitat que una persona que compra una butlleta amb el número 81 sigui guanyadora, s'efectua el següent càlcul de probabilitat teòrica:

P (1) = 1 / 1.000 = 0,001 = 0,1%

El resultat anterior s'interpreta de la següent manera: si el sorteig es repetís infinites vegades, cada 1.000 vegades la butlleta 81 seria seleccionat, de mitjana, una vegada.

Si per algun motiu algú adquireix totes les butlletes és segur que guanyarà el premi. La probabilitat de guanyar el premi si es tenen totes les butlletes es calcula així:

P (1.000) = 1.000 / 1.000 = 1 = 100%.

És a dir, que probabilitat 1 o 100% significa que és totalment segur que aquest resultat passarà.

Si algú posseeix 500 butlletes les possibilitats de guanyar o perdre són les mateixes. La probabilitat teòrica de guanyar el premi en aquest cas es calcula així:

P (500) = 500 / 1.000 = ½ = 0,5 = 50%.

Aquell que no compra cap butlleta no té cap possibilitat de guanyar i la seva probabilitat teòrica es determina així:

P (0) = 0 / 1.000 = 0 = 0%

exemples

exemple 1

Es té una moneda amb cara a una banda i escut o segell en l'altre. Quan es llança la moneda Quina és la probabilitat teòrica que surti cara?

P (cara) = n (cara) / N (cara + escut) = ½ = 0,5 = 50%

El resultat s'interpreta de la següent manera: si es fes un nombre enorme de llançaments, de mitjana en cada 2 llançaments un d'ells sortiria cara.

En termes percentuals, la interpretació de l'resultat és que fent un nombre infinitament gran de llançaments, de mitjana de cada 100 d'ells 50 donarien com a resultat cara.

exemple 2

En una caixa hi ha 3 bales blaus, 2 bales vermelles i 1 verd. Quina és la probabilitat teòrica que a l'treure una bala de la caixa aquesta sigui vermella?

Figura 2. Probabilitat d'extracció de bales de colors. Font: F. Zapata.

La probabilitat que surti vermella és:

P (vermella) = Nombre de casos favorables / Nombre de casos possibles

És a dir:

P (vermella) = Nombre de bales vermelles / Nombre total de bales

Finalment s'ha de la probabilitat que s'extregui una bala vermella és:

P (vermella) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Mentre que la probabilitat que a l'extreure una bala verda és:

P (verd) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

Finalment, la probabilitat teòrica d'obtenir en una extracció a cegues una bala blava és:

P (blau) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

És a dir, de cada 2 intents el resultat serà blau en un d'ells i un altre color en un altre intent, sota la premissa que es reposa la bala extreta i que el nombre d'assaigs és molt, molt gran.

exercicis

exercici 1

Determinar la probabilitat que a l'llançar un dau s'obtingui un valor menor o igual a 4.

solució

Per calcular la probabilitat que ocorri aquest esdeveniment s'aplicarà la definició de probabilitat teòrica:

P (≤4) = Nombre de casos favorables / Nombre de casos possibles

P (≤5) = 5/6 = = 83,33%

exercici 2

Trobar la probabilitat que en dos llançaments consecutius d'un dau normal de sis cares surti maig a les 2 vegades.

solució

Per donar resposta a aquest exercici convé fer un quadre per mostrar totes les possibilitats. La primera xifra indica el resultat del primer donat i la segona el resultat de l'altre.

Per calcular la probabilitat teòrica necessitem conèixer el nombre total de casos possibles, en aquest cas com es pot veure de el quadre anterior, hi ha 36 possibilitats.

També observant el quadre es dedueix que el nombre de casos favorables a l'esdeveniment que en els dos llançaments consecutius surti 5 és solament 1, ressaltat amb color, per tant la probabilitat que aquest esdeveniment ocorri és:

P (5 x 5) = 1/36.

També es va poder haver arribat a aquest resultat usant una de les propietats de la probabilitat teòrica, la qual afirma que la probabilitat combinada de dos esdeveniments independents és el producte de les seves probabilitats individuals.

En aquest cas la probabilitat que en el primer llançament surti 5 és ⅙. El segon llançament és completament independent de la primera, per tant la probabilitat que surti 5 en el segon és també ⅙. Llavors la probabilitat combinada és:

P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

exercici 3

Trobar la probabilitat que en el primer llançament surti un nombre menor que 2 i en el segon surti un nombre major que 2.

solució

Novament cal construir una taula d'esdeveniments possibles, on es subratllen aquells en els quals el primer llançament va resultar menor a 2 i en el segon major a 2.

En total hi ha 4 possibilitats d'un total de 36. És a dir que la probabilitat d'aquest esdeveniment és:

P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0,1111 = 11,11%

Usant el teorema de probabilitats que afirma:

S'obté idèntic resultat:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0,1111 = 11,11%

El valor obtingut amb aquest procediment coincideix amb el resultat anterior, mitjançant la definició teòrica o clàssica de la probabilitat.

exercici 4

Quina és la probabilitat que a l'llançar dos daus la suma dels valors sigui 7.

solució

Per trobar la solució en aquest cas s'ha elaborat un quadre de possibilitats en què s'ha indicat en color els casos que compleixen la condició que la suma dels valors sigui 7.

Mirant la taula poden comptar 6 casos possibles, de manera que la probabilitat és:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

referències

1. Canavos, G. 1988. Probabilitat i Estadística: Aplicacions i mètodes. McGraw Hill.
2. Devori, J. 2012. Probability and Statistics for Engineering and Science. 8th. Edition. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Sèrie Schaum: Probabilitat. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989.Teoría de la probabilitat. Editorial Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Probabilitat i Estadística per Enginyeria i Ciències. Pearson.