PROBABILITAT CONDICIONAL: FÓRMULA I EQUACIONS, PROPIETATS, EXEMPLES - DUDAS - 2025

La probabilitat condicional és la possibilitat d'ocurrència d'un cert esdeveniment, atès que ocorre un altre a manera de condició. Aquesta informació addicional pot ajustar (o potser no) la percepció que alguna cosa passarà.

Per exemple, podem preguntar-nos: "Quina és la probabilitat que plogui avui, atès que fa dos dies que no plou?». L'esdeveniment de el qual volem conèixer la probabilitat és el que plogui avui, i la informació addicional que condicionaria la resposta és que "fa dos dies que no plou".

Figura 1. La probabilitat que plogui avui donat que va ploure ahir també és un exemple de probabilitat condicional. Font: Pixabay.

Sigui un espai probabilístic compost per Ω (espai mostral), ℬ (els esdeveniments aleatoris) i P (la probabilitat de cada succés), més els esdeveniments A i B que pertanyen a ℬ.

La probabilitat condicionada que ocorri A, donat que va ocórrer B, que es denota com P (A│B), es defineix d'aquesta manera:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A i B) / P (B)

On: P (A) és la probabilitat d'ocurrència d'A, P (B) és la probabilitat de l'esdeveniment B i és diferent de 0, i P (A∩B) és la probabilitat de la intersecció entre A i B, és a dir, la probabilitat que tots dos esdeveniments ocorrin (probabilitat conjunta).

Aquesta és una expressió per al teorema de Bayes aplicat a dos esdeveniments, proposat el 1763 pel teòleg i matemàtic anglès Thomas Bayes.

propietats

-Tota probabilitat condicional està compresa entre 0 i 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

-La probabilitat que l'esdeveniment A passi, atès que aquest esdeveniment passa, evidentment és 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-Si dos esdeveniments són excloents, és a dir, esdeveniments que no poden succeir simultàniament, llavors la probabilitat condicional que un d'ells succeeixi és 0, ja que la intersecció és nul·la:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-Si B és un subconjunt de A, llavors la probabilitat condicional també és 1:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

important

P (A│B) generalment no és igual a P (B│A), per tant cal tenir cura de no intercanviar els esdeveniments a l'hora de trobar la probabilitat condicional.

Regla general de la multiplicació

Moltes vegades es vol trobar la probabilitat conjunta P (A∩B), en comptes de la probabilitat condicional. Llavors, mitjançant el següent teorema es té:

P (A∩B) = P (A i B) = P (A│B). P (B)

El teorema es pot estendre per tres esdeveniments A, B i C:

P (A∩B∩C) = P (A i B i C) = P (A) · P (B│A) · P (C│A∩B)

I també per a diversos esdeveniments, com A ₁, A ₂, A ₃ i més, es pot expressar de la següent manera:

P (A ₁ ∩ A ₂ ∩ A ₃… ∩ A _n) = P (A ₁). P (A ₂ │A ₁). P (A ₃ │A ₁ ∩ A ₂)… P (A _n ││A ₁ ∩ A ₂ ∩… A _n-1)

Quan és el cas d'esdeveniments que ocorren en seqüència ia través de diferents etapes, és convenient organitzar les dades en un diagrama o una taula. Això facilita visualitzar les opcions d'arribar a la probabilitat sol·licitada.

Exemples d'això són el diagrama d'arbre i la taula de contingència. A partir d'un d'ells es pot construir l'altre.

Exemples de probabilitat condicional

Vegem algunes situacions en les quals les probabilitats d'un esdeveniment s'alteren per l'ocurrència d'un altre:

- Exemple 1

En una botiga de dolços es venen dos tipus de pastissos: de maduixa i de xocolata. A l'registrar les preferències de 50 clients de tots dos sexes, es van determinar els següents valors:

-27 dones, de les quals 11 prefereixen pastís de maduixa i 16 de xocolata.

-23 homes: 15 escullen xocolata i 8 maduixa.

La probabilitat que un client esculli un pastís de xocolata es pot determinar aplicant la regla de Laplace, segons la qual la probabilitat d'un esdeveniment qualsevol és:

P = nombre d'esdeveniments favorables / nombre total d'esdeveniments

En aquest cas, de 50 clients, un total de 31 prefereixen la xocolata, de manera que la probabilitat seria P = 31/50 = 0.62. És a dir, el 62% dels clients prefereixen pastís de xocolata.

Però seria diferent si el client és una dona? Aquest és un cas de probabilitat condicional.

Taula de contingència

Mitjançant una taula de contingència com aquesta es visualitzen fàcilment els totals:

Després s'observen els casos favorables i s'aplica la regla de Laplace, però abans vam definir els esdeveniments:

-B és l'esdeveniment «client dona».

-A és l'esdeveniment «preferir pastís de xocolata» sent dona.

Ens dirigim a la columna etiquetada «dones» i allà veiem que el total és 27.

Després es busca el cas favorable a la fila «xocolata». Hi ha 16 esdeveniments d'aquests, per tant la probabilitat buscada és, directament:

P (A│B) = 16/27 = 0.5924

Un 59.24% dels clients dones prefereixen pastís de xocolata.

Aquest valor coincideix quan ho contrastem amb la definició donada inicialment de probabilitat condicional:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Ens assegurem mitjançant la regla de Laplace i els valors de la taula:

P (B) = 27/50

P (A i B) = 16/50

On P (A i B) és la probabilitat que el client prefereixi xocolata i sigui dona. Ara es substitueixen els valors:

P (A│B) = P (A i B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16. / 27 = 0,5924.

I queda comprovat que el resultat és el mateix.

- Exemple 2

En aquest exemple s'aplica la regla de la multiplicació. Suposem que en l'exhibició d'una botiga hi ha pantalons en tres talles: petits, mitjans i grans.

En un lot amb un total de 24 pantalons, dels quals hi ha 8 de cada talla i tots estan barrejats ¿quina seria la probabilitat d'extreure dos d'ells i que tots dos fossin petits?

És clar que la probabilitat d'extreure uns pantalons noi en el primer intent és 8/24 = 1/3. Ara bé, la segona extracció està condicionada a el primer esdeveniment, ja que a l'treure uns pantalons, ja no queden 24, sinó 23. I si es treu uns pantalons petit, queden 7 en comptes de 8.

L'esdeveniment A és treure uns pantalons petit, havent tret un altre en el primer intent. I l'esdeveniment B és el de l'pantalons petit a la primera. Per tant:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24

Finalment, mitjançant la regla de la multiplicació:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0.097

exercici resolt

En un estudi de la puntualitat en els vols aeris comercials, es disposa de les següents dades:

-P (B) = 0.83, és la probabilitat que un avió enlairament puntualment.

-P (A) = 0.81, és la probabilitat d'aterratge a temps.

-P (B∩A) = 0.78 és la probabilitat que el vol arribi a temps enlairant puntual.

Es demana calcular:

a) Quina és la probabilitat que l'avió aterri puntualment atès que va enlairar a temps?

b) La probabilitat anterior ¿és la mateixa que la probabilitat que hagi sortit a temps si va aconseguir aterrar puntualment?

c) I finalment: ¿quina és la probabilitat que arribi a temps atès que no va sortir puntual?

Figura 2. La puntualitat en els vols comercials és important, ja que els retards generen pèrdues milionàries. Font: Pixabay.

solució a

Per respondre a la pregunta s'utilitza la definició de probabilitat condicional:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A i B) / P (B) = 0.78 /0.83 = 0,9398

solució b

En aquest cas s'intercanvien els esdeveniments en la definició:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A i B) / P (A) = 0.78 /0.81 = 0,9630

Cal notar que aquesta probabilitat és lleugerament diferent de l'anterior, tal com hem assenyalat prèviament.

solució c

La probabilitat de no sortir puntual és 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0.17, l'anomenarem P (B ^C), perquè és l'esdeveniment complementari a enlairar puntual. La probabilitat condicional buscada és:

P (A│B ^C) = P (A∩B ^C) / P (B ^C) = P (A i B ^C) / P (B ^C)

D'altra banda:

P (A∩B ^C) = P (aterratge a temps) - P (aterratge a temps i enlairar puntual) = 0,81-0,78 = 0.03

En aquest cas la probabilitat condicional buscada és:

P (A│B ^C) = 0.03 / 0.17 = 0,1765

referències

1. Canavos, G. 1988. Probabilitat i Estadística: Aplicacions i mètodes. McGraw Hill.
2. Devori, J. 2012. Probability and Statistics for Engineering and Science. 8th. Edition. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Sèrie Schaum: Probabilitat. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989.Teoría de la probabilitat. Editorial Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Probabilitat i Estadística per Enginyeria i Ciències. Pearson.
6. Wikipedia. Probabilitat condicionada. Recuperat de: es.wikipedia.org.