PERMUTACIONS SENSE REPETICIÓ: FÓRMULES, DEMOSTRACIÓ, EXERCICIS, EXEMPLES - DUDAS - 2025

Una permutació sense repetició de n elements són els diferents grups d'elements diferents que es poden obtenir a partir de no repetir cap element, variant únicament l'ordre de col·locació dels elements.

Per esbrinar el nombre de permutacions sense repetició es fa ús de la fórmula següent:

Pn = n!

La qual expandida seria Pn = n! = N (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Pel que en l'exemple pràctic anterior s'aplicaria de la següent manera:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 números diferents de 4 dígits.

Sent aquests els 24 arranjaments en total: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Com es pot observar, no hi ha repetició en cap cas, sent 24 números diferents.

Demostració i fórmules

24 Arranjaments de 4 xifres diferents

Analitzarem més concretament l'exemple dels 24 arranjaments diferents de 4 xifres que es poden formar amb els dígits de l'nombre 2468. La quantitat d'arranjaments (24) es pot conèixer de la següent manera:

Es tenen 4 opcions per seleccionar el primer dígit, això deixa 3 opcions per seleccionar el segon. Ja es van fixar dos dígits i queden 2 opcions per seleccionar el tercer dígit. L'últim dígit només té una opció de selecció.

Per tant, el nombre de permutacions, denotat per P4, s'obté pel producte de les opcions de selecció en cada posició:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 números diferents de 4 dígits

En general, el nombre de permutacions o arranjaments diferents que es poden realitzar amb tots els n elements d'un conjunt donat és:

Pn = n! = N (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

L'expressió n! es coneix com n factorial i significa el producte de tots els nombres naturals que es troben entre el nombre ni el número u, inclosos tots dos.

12 Arranjaments de 2 xifres diferents

Ara suposi que es vol conèixer el nombre de permutacions o nombres de dues xifres diferents que es poden formar amb els dígits de l'nombre 2468.

Aquests serien 12 arranjaments en total: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Es tenen 4 opcions per seleccionar el primer dígit, això deixa 3 dígits per seleccionar el segon. Per tant, el nombre de permutacions dels 4 dígits presos de dos en dos, denotat per 4P2, s'obté pel producte de les opcions de selecció en cada posició:

4P2 = 4 * 3 = 12 números diferents de 2 dígits

En general, el nombre de permutacions o arranjaments diferents que es poden realitzar amb r elements dels n en total en un conjunt donat és:

NPR = n (n - 1) (n - 2)…

L'expressió anterior es trunca abans de reproduir n !. Per completar n! a partir d'aquesta hauríem d'escriure:

n! = N (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1)

Els factors que afegim, al seu torn, representen el factorial:

(N - r)… (2) (1) = (n - r)!

Per tant, n! = N (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)!

d'aquí

n! / (n - r)! = N (n - 1) (n - 2)… = NPR

exemples

exemple 1

Quantes combinacions de lletres diferents de 5 lletres es poden construir amb les lletres de la paraula CLAU?

Es vol trobar el nombre de combinacions de lletres diferents de 5 lletres que es poden construir amb les 5 lletres de la paraula CLAU; és a dir, el nombre d'arranjaments de 5 lletres que involucren totes les lletres disponibles a la paraula clau.

N ° de paraules de 5 lletres = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 combinacions de lletres diferents de 5 lletres.

Aquestes serien: CLAU, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC… fins a 120 combinacions de lletres diferents en total.

exemple 2

Es tenen 15 boles numerades i es desitja conèixer Quants grups diferents de 3 boles es poden construir amb les 15 boles numerades?

Es vol trobar el nombre de grups de 3 boles que es poden confeccionar amb les 15 boles numerades.

N ° de grups de 3 boles = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

N ° de grups de 3 boles = 15 * 14 * 13 = 2730 grups de 3 boles

exercicis resolts

exercici 1

Una botiga de fruites posseeix un estand d'exhibició que consisteix en una fila de compartiments situats al passadís d'entrada a el local. En un dia, la fruiteria adquireix per a la venda: taronges, bananes, pinyes, peres i pomes.

a) Quantes formes diferents té per ordenar l'estand d'exhibició?

b) Quantes formes diferents té per ordenar l'estand si a més de les fruites esmentades (5), va rebre en aquest dia: mànecs, préssecs, maduixes i raïm (4)?

a) Es vol trobar el nombre de formes diferents d'ordenar a la fila d'exhibició totes les fruites; és a dir, el nombre d'arranjaments de 5 rubros fructícoles que involucren totes les fruites disponibles per a la venda en aquest dia.

N ° d'arranjaments de l'estand = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° d'arranjaments de l'estand = 120 formes de presentar l'estand

b) Es vol trobar el nombre de formes diferents d'ordenar a la fila d'exhibició totes les fruites si es van agregar 4 rubros addicionals; és a dir, el nombre d'arranjaments de 9 rubros fructícoles que involucren totes les fruites disponibles per a la venda en aquest dia.

N ° d'arranjaments de l'estand = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° d'arranjaments de l'estand = 362.880 formes de presentar l'estand

exercici 2

Un petit local de venda de menjar disposa d'un lot de terreny amb espai suficient per estacionar 6 vehicles.

a) Quantes formes diferents d'ordenament dels vehicles en el lot de terreny es poden seleccionar?

b) Suposem que s'adquireix un lot de terreny contigu les dimensions permeten que es puguin estacionar 10 vehicles, Quantes formes diferents d'ordenament dels vehicles es poden seleccionar ara?

a) Es vol trobar el nombre de formes diferents d'ordenar en el lot de terreny dels 6 vehicles que es poden acollir.

N ° d'arranjaments dels 6 vehicles = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° d'arranjaments dels 6 vehicles = 720 formes diferents d'ordenar els 6 vehicles en el lot de terreny.

b) Es vol trobar el nombre de formes diferents d'ordenar en el lot de terreny dels 10 vehicles que es poden albergar després de l'ampliació de l'lot de terreny.

N ° d'arranjaments dels 10 vehicles = P10 = 10!

N ° d'arranjaments dels vehicles = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° d'arranjaments dels 10 vehicles = 3.628.800 formes diferents d'ordenar els 10 vehicles en el lot de terreny.

exercici 3

Una floristeria disposa de flors de 6 colors diferents per elaborar banderes florals de nacions que tinguin només 3 colors. Si se sap que l'ordre dels colors és important en les banderes, a) Quantes banderes diferents de 3 colors es poden elaborar amb els 6 colors disponibles?

b) El venedor adquireix flors de 2 colors addicionals als 6 que ja tenia, ara Quantes banderes diferents de 3 colors es poden elaborar?

c) Ja que disposa de 8 colors decideix ampliar la seva oferta de banderes, Quantes banderes diferents de 4 colors pot elaborar?

d) Quantes de 2 colors?

a) Es vol trobar la quantitat de banderes diferents de 3 colors que es poden elaborar seleccionant dels 6 colors disponibles.

N ° de banderes de 3 colors = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

N ° de banderes de 3 colors = 6 * 5 * 4 = 120 banderes

b) Es desitja trobar la quantitat de banderes diferents de 3 colors que es poden elaborar seleccionant dels 8 colors disponibles.

N ° de banderes de 3 colors = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

N ° de banderes de 3 colors = 8 * 7 * 6 = 336 banderes

c) S'ha de calcular la quantitat de banderes diferents de 4 colors que es poden elaborar seleccionant dels 8 colors disponibles.

N ° de banderes de 4 colors = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

N ° de banderes de 4 colors = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 banderes

d) Es desitja determinar la quantitat de banderes diferents de 2 colors que es poden elaborar seleccionant dels 8 colors disponibles.

N ° de banderes de 2 colors = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

N ° de banderes de 2 colors = 8 * 7 = 56 banderes

referències

1. Boada, A. (2017). Ús de la permutació amb repetició com a ensenyament d'experiments. Revista Vivat Acadèmia. Recuperat de researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Probabilitat i Estadística. Aplicacions i mètodes. McGraw-Hill / Interamericana de Mèxic SA de CV
3. Glass, G.; Stanley, J. (1996). Mètodes estadístics no aplicats a les ciències socials. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Estadística. Quarta ed. McGraw-Hill / Interamericana de Mèxic SA
5. Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Ye, Ka. (2007). Probability & Statistics for engineers & scientists. Eighth ed. Pearson Education Internacional Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Estadística aplicada als negocis i l'economia. Tercera ed. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. (2019). Permutation. Recuperat de en.wikipedia.org.