PERMUTACIONS CIRCULARS: DEMOSTRACIÓ, EXEMPLES, EXERCICIS RESOLTS - DUDAS - 2025

Les permutacions circulars són diferents tipus d'agrupacions de tots els elements d'un conjunt, quan aquests han d'ordenar-se en cercles. En aquest tipus de permutació importa l'ordre i no es repeteixen els elements.

Per exemple, suposi que es vol conèixer el nombre d'arranjaments diferents dels dígits de l'un a el quatre, ubicant cada número en un dels vèrtexs d'un rombe. Aquests serien 6 arranjaments en total:

No s'ha de confondre que el número u estigui en la posició superior de l'rombe en tots els casos com una posició fixa. Les permutacions circulars no canvien pel gir de l'arranjament. Els següents són una sola o la mateixa permutació:

Demostració i fórmules

En l'exemple dels arranjaments circulars diferents de 4 dígits situats en els vèrtexs d'un rombe, el nombre d'arranjaments (6) es pot esbrinar així:

1- Es pren qualsevol dels quatre dígits com a punt de partida en qualsevol dels vèrtexs i s'avança a el vèrtex següent. (És indiferent si es gira en el sentit de l'rellotge o en sentit contrari a l'rellotge)

2- Queden 3 opcions per seleccionar el segon vèrtex, després queden 2 opcions per seleccionar el tercer vèrtex i, per descomptat, només queda una opció de selecció per al quart vèrtex.

3- Així doncs, el nombre de permutacions circulars, denotat per (4 - 1) P (4 - 1), s'obté pel producte de les opcions de selecció en cada posició:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 arranjaments circulars diferents de 4 dígits.

De manera general, el nombre de permutacions circulars que es poden aconseguir amb tots els n elements d'un conjunt és:

(N - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (N - 1) (n - 2)… (2) (1)

Ressenyar que (n - 1)! és coneguda com n factorial i abreuja el producte de tots els números des del número (n - 1) fins al número u, ambdós inclosos.

exemples

exemple 1

Quantes formes diferents tenen 6 persones de seure a una taula circular?

Es vol trobar el nombre de formes diferents en què a 6 persones poden seure al voltant d'una taula rodona.

N ° de formes de seure = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

N ° de formes de seure = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 formes diferents

exemple 2

Quantes formes diferents tenen 5 persones de situar-se en els vèrtexs d'un pentàgon?

Es busca el nombre de formes en que 5 persones poden situar-se en cadascun dels vèrtexs d'un pentàgon.

N ° de formes de situar-= (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

N ° de formes d'ubicar-= 4 * 3 * 2 * 1 = 24 formes diferents

exercicis resolts

- Exercici 1

Un joier adquireix 12 pedres precioses diferents per ubicar-les en els punts de les hores d'un rellotge que està preparant per encàrrec de la casa reial d'un país europeu.

a) Quantes formes diferents té per ordenar les pedres al rellotge?

b) Quantes formes diferents té si la pedra que va a les 12 és única?

c) Quantes formes diferents si la pedra de les 12 és única i les pedres dels altres tres punts cardinals, les 3, les 6 i les 9; són tres pedres particulars, que es poden intercanviar, i la resta de les hores s'assignen de la resta de les pedres?

solucions

a) Es demana el nombre de maneres d'ordenar a la circumferència de l'rellotge totes les pedres; és a dir, el nombre d'arranjaments circulars que involucren totes les pedres disponibles.

N ° d'arranjaments en el rellotge = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

N ° d'arranjaments en el rellotge = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° d'arranjaments en el rellotge = 39976800 formes diferents

b) Es pregunta quantes formes diferents d'ordenar existeixen sabent que la pedra de la maneta de les 12 és única i fixa; és a dir, el nombre d'arranjaments circulars que involucren les 11 pedres restants.

N ° d'arranjaments en el rellotge = (11-1) P (11-1) = (11 - 1)!

N ° d'arranjaments en el rellotge = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° d'arranjaments en el rellotge = 3628800 formes diferents

c) Finalment es busca el nombre de formes d'ordenar totes les pedres excepte la pedra de les 12 que és fixa, les pedres de les 3, 6 i 9 que tenen 3 pedres a assignar entre elles; és a dir, 3! possibilitats d'arranjament, i el nombre d'arranjaments circulars que involucren les 8 pedres restants.

N ° d'arranjaments en el rellotge = 3! * = 3! * (8-1)!

N ° d'arranjaments en el rellotge = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

N ° d'arranjaments en el rellotge = 241.920 formes diferents

- Exercici 2

El comitè directiu d'una empresa consta de 8 membres i es reuneixen en una taula ovalada.

a) Quantes formes diferents d'ordenament voltant de la taula té el comitè?

b) Suposem que el president s'asseu a la capçalera de la taula en qualsevol arranjament de comitè, Quantes formes diferents d'ordenament té la resta de l'comitè?

c) Suposem que als costats de el president se sentin el vicepresident i el secretari en qualsevol arranjament de comitè, Quantes formes diferents d'ordenament té la resta de l'comitè?

solucions

a) Es vol trobar el nombre de formes diferents d'ordenar els 12 membres de comitè voltant de la taula ovalada.

N ° d'arranjaments de el comitè = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

N ° d'arranjaments de el comitè = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° d'arranjaments de el comitè = 39976800 formes diferents

b) Ja que el president de l'comitè es situa en una posició fixa, es busca el nombre de formes d'ordenar els 11 membres restants de l'comitè voltant de la taula ovalada.

N ° d'arranjaments de el comitè = (11-1) P (11-1) = (11 - 1)!

N ° d'arranjaments de el comitè = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° d'arranjaments de el comitè = 3628800 formes diferents

c) El president es situa en una posició fixa i als costats se situen el vicepresident i el secretari amb dues possibilitats d'arranjament: vicepresident a la dreta i secretari a l'esquerra o vicepresident a l'esquerra i secretari a la dreta. Després es vol trobar el nombre de formes diferents d'ordenar els 9 membres restants de l'comitè voltant de la taula ovalada i multiplicar per les 2 formes d'arranjaments que tenen el vicepresident i el secretari.

N ° d'arranjaments de el comitè = 2 * = 2 *

N ° d'arranjaments de el comitè = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

N ° d'arranjaments de el comitè = 80.640 formes diferents

referències

1. Boada, A. (2017). Ús de la permutació amb repetició com a ensenyament d'experiments. Revista Vivat Acadèmia. Recuperat de researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Probabilitat i Estadística. Aplicacions i mètodes. McGraw-Hill / Interamericana de Mèxic SA de CV
3. Glass, G.; Stanley, J. (1996). Mètodes estadístics no aplicats a les ciències socials. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Estadística. Quarta ed. McGraw-Hill / Interamericana de Mèxic SA
5. Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Ye, Ka. (2007). Probability & Statistics for engineers & scientists. Eighth ed. Pearson Education Internacional Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Estadística aplicada als negocis i l'economia. Tercera ed. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. Wikipedia. (2019). Permutation. Recuperat de en.wikipedia.org.