COM TREURE EL PERCENTATGE? EXEMPLES I EXERCICIS - CULTURA VOCABULARI - 2025

Es pot treure un percentatge amb diversos mètodes. Es pot calcular ràpidament el 10% de qualsevol nombre només a l'moure el seu coma decimal una posició cap a l'esquerra. Per exemple, el 10% de 100 és 10; el 10% de 1000 és 100.

Si es volen calcular percentatges més complexos com el 36% de 25 o el 250% de 20, es necessiten usar altres mètodes. Per als casos en què el sistema de el 10% no és aplicable, es poden tenir en compte les següents metodologies.

Figura 1. Descomptes amb diferents percentatges. Quant ens estalviem en cadascuns ?. Font: Pixabay.

El terme percentatge significa certa part de cada cent i es refereix a l'operació aritmètica que es porta a terme per trobar aquesta part. Per exemple 20% (es llegeix "vint per cent") de descompte en pesos vol dir que per cada 100 pesos es descompten 20 pesos.

El percentatge serveix per calcular quina part de l'total representa una quantitat. En aquest cas, el total es porta a l'escala de 100 i el percentatge informa quina quantitat, sobre la base a aquests 100, és la part que s'ha de calcular.

Vegem com es fa amb aquests exemples. En primer lloc ho fem en forma de fracció:

• 20% = 20/100
• 5% = 5/100
• 0,7% = 0,7 / 100
• 100% = 100/100

Cal observar que el 100% és igual a 1. Però els percentatges també es poden escriure en forma decimal:

• 20% = 0,20
• 5% = 0,05
• 0,7% = 0,007
• 100% = 1,0

Quan s'expressa el percentatge de cert nombre en forma decimal, simplement es desplaça la coma d'aquest número dos llocs a l'esquerra. Al percentatge també s'aplica la regla de la proporcionalitat:

20% és 20 de cada 100, per tant:

El 20% de 100 és 20, el 20% de 200 és 40, el 20% de 300 és 60, el 20% de 50 és de 10.

Regla general per al 20% de qualsevol quantitat

Aquesta regla es pot estendre fàcilment per trobar qualsevol altre percentatge que es desitgi. Vegem com en el següent apartat.

Exercici resolt amb fórmula per calcular el n%

Una fórmula per resumir el més aviat explicat i calcular ràpidament qualsevol percentatge n és:

n% = (A * n) / 100

Per exemple es vol calcular el 25% de 400

Llavors n = 25 i A = 400, el que resulta en (400 * 25) / 100 = 100

exemple

Quin percentatge de 60 és 24?

solució

El que es demana és equivalent a preguntar quin és el n% de 60 que dóna 24?

Plantegem la fórmula general:

Aïllem n amb aquest procediment:

-El 100 que està dividint en el membre i zquierdo de la igualtat, passa a el membre dret multiplicant.

-I el 60 que multiplica en el membre esquerre passa a l'membre dret dividint.

Es conclou que el 40% de 60 és 24.

Exercicis resolts de càlcul de percentatge

A continuació hi ha exercicis senzills per començar a practicar l'abans dit.

exercici 1

Trobar el 50% de 90.

solució

Aquí X = 90, n = 50% i substituïm:

90 * 50% = 90 * (50/100) = 4500/100 = 45

Aquest és bastant simple, perquè el 50% de qualsevol quantitat és la meitat d'aquesta quantitat i la meitat de 90 és 45.

exercici 2

Trobar el 30% de 90.

solució

90 * 30% = 90 * (30/100) = 2700/100 = 27

augments percentuals

És freqüent en la vida quotidiana escoltar sobre l'augment d'alguna cosa, per exemple un augment en la producció, un increment salarial o la pujada d'un producte. Gairebé sempre s'expressa en forma percentual.

Per exemple, cert producte costava 300 € però va sofrir un increment de l'30%. Ens preguntem: quin és el nou preu del producte?

El primer és calcular la porció que correspon a l'augment. Com l'augment és de 30 parts de 100, llavors la porció d'augment, basant-se el preu original de 300, és tres vegades les 30 parts, és a dir 3 * 30 = 90.

El producte va augmentar 90 €, de manera que el nou preu final serà el que costava abans més l'augment:

Podem construir una fórmula per al càlcul de l'augment percentual. Utilitzem lletres per simbolitzar els preus, així:

- f és el valor final

-i és el valor inicial i

-n és el percentatge d'augment.

Amb aquests noms, el valor final es calcularia així:

f = i + (i * n / 100)

Però com i està repetit en tots dos termes, es pot treure com a factor comú per a obtenir aquesta altra expressió, igualment vàlida:

f = i * (1 + n / 100)

Verifiquem amb el cas ja resolt, el producte que costava 300 € i va augmentar 30%. Així ens assegurem que la fórmula funciona bé:

exercici 3

Un empleat guanyava 1500 €, però va ser ascendit i el seu salari va tenir un augment de 20%. Quin és el seu nou sou?

solució

Apliquem la fórmula:

El nou salari de l'empleat és 1800 €.

disminucions percentuals

En el cas de disminucions, la fórmula per al càlcul de la valor final f de certa quantitat inicial i que va patir una disminució de n% és:

f = i * (1 - n / 100)

Ha de notar-se que el signe positiu (+) de la fórmula en l'apartat anterior, va ser substituït per un signe negatiu (-).

Figura 2. Avís de descompte percentual. Font: Pixabay

exercici 4

Un producte marcava 800 €, però va rebre un descompte de 15%. Quin és el nou preu del producte?

solució 4

El preu final d'acord a la fórmula és:

El preu final amb el descompte de el 15% és de 680 €, el que representa un estalvi de 120 €.

percentatges successius

Apareix quan alguna quantitat pateix una variació percentual i seguidament s'aplica una altra, també percentual. Per exemple un producte que ha tingut dos descomptes percentuals seguits. Un altre exemple és el d'un empleat que va tenir dos augments salarials consecutius.

- Augments percentuals successius

La base de solució d'aquests casos és la mateixa dels augments únics, però cal tenir en compte que el segon augment percentual s'efectua sobre el valor final del primer augment.

Suposi un producte que va pujar primer 10% i després 5%. És incorrecte dir que va patir un augment de l'15%, en realitat va ser més d'aquest percentatge.

Les fórmules per al valor final s'aplicarien així:

-Primer es calcula el valor final del primer augment de n1%

-I després, per trobar el valor final del segon augment de n 2%, es pren com a valor inicial el valor final de f1. Per tant:

exercici 5

Un llibre costava originalment 55 €, però a causa de l'èxit de la mateixa ia l'alta demanda, va patir dos augments consecutius sobre el preu original. El primer augment va ser de 10% i el segon de 20%. Quin és el preu final de l'llibre?

solució

-Primer augment:

-Segon augment

El preu final és de 72,6 €.

exercici 6

Pel que fa a l'exercici anterior. Els dos augments consecutius: ¿a quin percentatge d'un augment únic sobre el preu original de el llibre corresponen?

solució

Si anomenem n% a l'percentatge d'augment únic, la fórmula que relaciona aquest augment percentual únic amb el valor original i el valor final és:

És a dir:

Aïllant el percentatge d'augment n% = (n / 100), tenim:

Per tant:

A el preu de el llibre se li va aplicar un augment percentual total de l'32%. Noti que aquest augment és superior a la suma dels dos augments percentuals consecutius.

- Descomptes percentuals successius

La idea és similar a la dels augments percentuals successius. El segon descompte percentual s'ha d'aplicar sempre sobre el valor final del primer descompte, vegem un exemple:

exercici 7

Un descompte de el 10% seguit d'un segon descompte de l'20% sobre un objecte, a quin descompte percentual únic equival?

solució

-Primer descompte:

Substituint la primera equació en la segona queda:

Desenvolupant aquesta expressió, obtenim:

Traient factor comú i:

Finalment es substitueixen els percentatges indicats a la pregunta:

És a dir que els descomptes successius de 10% i 20%, corresponen a un descompte únic de l'28%.

exercicis avançats

Intentem aquests exercicis només quan les idees dels anteriors hagin quedat prou clares.

exercici 8

La base d'un triangle mesura 10 cm i l'altura 6 cm. Si la longitud de la base disminueix en 10% ¿En quin percentatge s'ha d'augmentar l'alçada perquè l'àrea de el triangle no canviï?

Figura 3. Solució alternativa a l'exercici 8. Elaborat per F. Zapata.

solució 8

L'àrea original de el triangle és:

Ara bé, si la base disminueix en 10%, llavors el seu nou valor és:

El nou valor de l'altura serà X, i l'àrea original s'ha de mantenir inalterada, de manera que:

Llavors s'aïlla el valor de X com:

El que significa un augment de 0,666 respecte a la valor original. Vegem ara quin percentatge d'aquest representa:

0.666 = 6 * n / 100

La resposta és: l'alçada s'ha d'incrementar un 11,1% perquè l'àrea de el triangle es mantingui igual.

exercici 9

Si a un treballador se li augmenta el sou en un 20%, però després l'impost li descompta el 5%, es pregunta: quin és l'augment real que percep el treballador?

solució

Primer calculem l'augment de n1%:

Després apliquem el descompte de n2%:

Se substitueix la primera equació en la segona:

Es desenvolupa l'expressió anterior:

Finalment es treu i factor comú i es substitueixen els valors de n1 = 20 i n2 = 5 que apareixen en l'enunciat:

El treballador va rebre un augment net de 14%.

exercici 10

Decidir què és més convenient entre aquestes dues opcions:

i) Adquirir samarretes amb un descompte de l'32% cadascuna.

ii) Comprar 3 samarretes pel preu de 2.

solució

Analitzem cada opció per separat i després escollim la més econòmica:

i) Sigui X el preu actual d'una samarreta, un 32% de descompte representa un preu final de Xf:

Xf = X - (32/100) X = X - 0.32X = 0.68X

Per exemple, comprar 3 samarretes significa gastar 3 x 0.68 X = 2.04X

ii) Si X és el preu d'una samarreta, per 3 samarretes simplement es pagarà 2X.

Suposem que una samarreta val 6 euros, amb el descompte de l'32% valdria 4.08 euros. Comprar 1 samarreta no és una opció vàlida en l'oferta de 3 × 2. Així que si només es vol comprar 1 samarreta, és preferible el descompte.

Però si el que es vol és comprar per dotzenes, l'oferta de 3 × 2 és tot just una mica més econòmica. Per exemple, 6 samarretes amb el descompte sortirien per 24.48 euros, mentre que amb l'oferta de 3 × 2 costarien 24 euros

referències

1. Aula Fàcil. El Percentatge. Recuperat de: aulafacil.com
2. Baldor A. 2006. Aritmètica teòric pràctica. Edicions Cultural.
3. Educa Peques. Com aprendre a calcular percentatges. Recuperat de: educapeques.com
4. Gutiérrez, G. Apunts de Matemàtica Financera. Recuperat de: csh.izt.uam.mx
5. Smart ticks. Percentatge: què és i com es calcula. Recuperat de: smartick.es