13 CLASSES DE CONJUNTS I EXEMPLES - CULTURA VOCABULARI - 2025

Les classes de conjunts es poden classificar en les mateixes, finits i infinits, subcojuntos, buits, disjunts o disjuntius, equivalents, unitaris, superposats o solapats, congruents i no congruents, entre d'altres.

Un conjunt és una col·lecció d'objectes, però són necessaris nous termes i símbols per poder parlar amb seny sobre els conjunts. Per exemple, es diu conjunt de cavalls, conjunt de nombres reals, conjunt de persones, conjunt de gossos, etc.

En el llenguatge ordinari, es dóna sentit a el món en què vivim classificant coses. L'espanyol té moltes paraules per a tals col·leccions. Per exemple, «un esbart d'aus», «un ramat de bestiar», «un eixam d'abelles» i «una colònia de formigues».

En matemàtica es fa alguna cosa similar quan es classifiquen nombres, figures geomètriques, etc. Els objectes d'aquests conjunts es diuen elements del conjunt.

Descripció d'un conjunt

Un conjunt pot descriure enumerant tots els seus elements. Per exemple, S = {1, 3, 5, 7, 9}.

«S és el conjunt els elements són 1, 3, 5, 7 i 9». Els cinc elements del conjunt estan separats per comes i es llisten entre claus.

Un conjunt també pot delimitar presentant una definició dels seus elements entre claudàtors. Així, el conjunt S anterior també es pot escriure com:

S = {nombres enters senars inferiors a 10}.

Un conjunt ha d'estar ben definit. Això vol dir que la descripció dels elements d'un conjunt ha de ser clara i inequívoca. Per exemple, {gent alta} no és un conjunt, perquè les persones tendeixen a no estar d'acord amb el que significa 'alt'. Un exemple d'un conjunt ben definit és

T = {lletres de l'alfabet}.

Tipus de conjunts

1- Conjunts iguals

Dos conjunts són iguals si tenen exactament els mateixos elements.

Per exemple:

• Si A = {vocals de l'alfabet} i B = {a, i, i, o, u} es diu que A = B.
• D'altra banda, els conjunts {1, 3, 5} i {1, 2, 3} no són iguals, perquè tenen diferents elements. Això s'escriu com {1, 3, 5} ≠ {1, 2, 3}.
• L'ordre en què els elements estan escrits dins els claudàtors no importa en absolut. Per exemple, {1, 3, 5, 7, 9} = {3, 9, 7, 5, 1} = {5, 9, 1, 3, 7}.
• Si un element apareix a la llista més d'una vegada, només es comptabilitza un cop. Per exemple, {a, a, b} = {a, b}.

El conjunt {a, a, b} té només els dos elements a i b. La segona menció d'a és una repetició innecessària i pot ser ignorada. Normalment es considera dolenta notació quan s'enumera a un element més d'una vegada.

2- Conjunts finits i infinits

Els conjunts finits, són aquells on poden ser comptabilitzats o enumerats tots elements del conjunt. Aquí hi ha dos exemples:

• {Nombres enters entre 2.000 i 2.005} = {2.001, 2.002, 2.003, 2.004}
• {Nombres enters entre 2.000 i 3.000} = {2.001, 2.002, 2.003,…, 2.999}

Els tres punts '…' en el segon exemple representen els altres 995 números en el conjunt. Es va poder haver llistat a tots els elements, però per estalviar espai es van utilitzar punts al seu lloc. Aquesta notació només pot utilitzar-se si està completament clar el que vol dir, com en aquesta situació.

Un conjunt també pot ser infinit - l'únic que importa és que estigui ben definit. Aquí hi ha dos exemples de conjunts infinits:

• {Nombres parells i sencers majors o iguals a dos} = {2, 4, 6, 8, 10,…}
• {Nombres enters més grans que 2.000} = {2.001, 2.002, 2.003, 2.004,…}

Tots dos conjunts són infinits, ja que no importa quants elements s'intenti enumerar, sempre hi ha més elements en el conjunt que no podran ser llistats, no importa quant de temps es provi. Aquesta vegada els punts '…' tenen un significat lleugerament diferent, perquè representen infinitament molts elements no enumerats.

3- Conjunts subconjunts

Un subconjunt és una part d'un conjunt.

• Exemple: Els mussols són un tipus particular d'aus, així que cada mussol és també una au. En el llenguatge dels conjunts, s'expressa dient que el conjunt de mussols és un subconjunt del conjunt de les aus.

Un conjunt S és cridat un subconjunt d'un altre conjunt T, si cada element de S és un element de T. Això s'escriu com:

• S ⊂ T (Es llegeix "S és un subconjunt de T")

El nou símbol ⊂ vol dir 'és un subconjunt de'. Així {mussols} ⊂ {ocells} perquè cada mussol és un ocell.

• Si A = {2, 4, 6} i B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, llavors A ⊂ B,

Perquè cada element de A és un element de B.

El símbol ⊄ vol dir 'no és un subconjunt'.

Això vol dir que al menys un element de S no és un element de T. Per exemple:

• {Aus} ⊄ {criatures voladores}

Perquè un estruç és una au, però no vola.

• Si A = {0, 1, 2, 3, 4} i B = {2, 3, 4, 5, 6}, llavors A ⊄

Perquè 0 ∈ A, però 0 ∉ B, es llegeix "0 pertany a el conjunt A", però "0 no pertany a el conjunt B".

4- Conjunt buit

El símbol Ø representa el conjunt buit, que és el conjunt que no té elements en absolut. Res en l'univers sencer és un element de Ø:

• - Ø - = 0 i X ∉ Ø, no importa el que X pot ser.

Només hi ha un conjunt buit, perquè dos conjunts buits tenen exactament els mateixos elements, de manera que han de ser iguals entre si.

5- Conjunts disjunts o disjuntius

Dos conjunts s'anomenen disjunts si no tenen elements en comú. Per exemple:

• Els conjunts S = {2, 4, 6, 8} i T = {1, 3, 5, 7} són disjunts.

6- Conjunts equivalents

Es diu que A i B són equivalents si tenen la mateixa quantitat d'elements que els constitueixen, és a dir, el nombre cardinal del conjunt A és igual a l'nombre cardinal del conjunt B, n (A) = n (B). El símbol per denotar un conjunt equivalent és '↔'.

• Per exemple:

  A = {1, 2, 3}, per tant, n (A) = 3

  B = {p, q, r}, per tant, n (B) = 3

  Per tant, A ↔ B

7- Conjunts unitaris

És un conjunt que té exactament un element en ell. En altres paraules, només hi ha un element que conforma el conjunt.

Per exemple:

• S = {a}
• Sigui B = {és un nombre primer parell}

Per tant, B és un conjunt unitari perquè només hi ha un nombre primer que és parell, és a dir, 2.

8- Conjunt universal o referencial

Un conjunt universal és la col·lecció de tots els objectes en un context particular o teoria. Tots els altres conjunts en aquest marc constitueixen subconjunts del conjunt universal, que s'anomena amb la lletra majúscula i cursiva O.

La definició precisa d'U depèn de l'context o teoria sota consideració. Per exemple:

• Es pot definir O com el conjunt de totes les coses vivents al planeta Terra. En aquest cas, el conjunt de tots els felins és un subconjunt de U, el conjunt de tots els peixos és un altre subconjunt de U.
• Si es defineix O com el conjunt de tots els animals en planeta terra, llavors el conjunt de tots els felins és un subconjunt de U, el conjunt de tots els peixos és un altre subconjunt de U, però el conjunt de tots els arbres no és un subconjunt de U.

9- Conjunts superposats o solapats

Dos conjunts que tenen al menys un element comú es diuen conjunts superposats.

• Exemple: Siguin X = {1, 2, 3} i Y = {3, 4, 5}

Els dos conjunts X i Y tenen un element en comú, el nombre 3. Per tant, es diuen conjunts superposats.

10- Conjunts congruents.

Són aquells conjunts en què cada element de A té la mateixa relació de distància amb els seus elements imatge de B. Exemple:

• B {2, 3, 4, 5, 6} i A {1, 2, 3, 4, 5}

La distància entre: 2 i 1, 3 i 2, 4 i 3, 5 i 4, 6 i 5 és una (1) unitat, de manera que A i B són conjunts congruents.

11- Conjunts no congruents

Són aquells en els quals no es pot establir la mateixa relació de distància entre cada element de A amb la seva imatge en B. Exemple:

• B {2, 8, 20, 100, 500} i A {1, 2, 3, 4, 5}

La distància entre: 2 i 1, 8 i 2, 20 i 3, 100 i 4, 500 i 5 és diferent, de manera que A i B són conjunts no congruents.

12- Conjunts homogenis

Tots els elements que componen el conjunt pertanyen a la mateixa categoria, gènere o classe. Són de el mateix tipus. exemple:

• B {2, 8, 20, 100, 500}

Tots els elements de B són nombre de manera que el conjunt es considera homogeni.

13- Conjunts heterogenis

Els elements que formen part del conjunt pertanyen a diferents categories. exemple:

• A {z, acte, π, edificis, poma}

No hi ha una categoria a la qual pertanyin tots els elements del conjunt, per tant és un conjunt heterogeni.

referències

1. Brown, P. et a l'(2011). Sets and Venn diagrams. Melbourne, University of Melbourne.
2. Finite set. Recuperat de: math.tutorvista.com.
3. Hoon, L. i Hoon, T (2009). Math Insights Secondary 5 Normal (Academic). Singapur, Pearson Education South Asia Pte L d.
4. Recuperat de: searchsecurity.techtarget.com.
5. Types of sets. Recuperat de: math-only-math.com.