VECTORS EQUIPOL·LENTS: DEFINICIÓ, NOTACIÓ, EXERCICIS - FÍSICA - 2025

Dos o més vectors són equipol·lents si tenen el mateix mòdul, la mateixa direcció i el mateix sentit, tot i que el seu punt d'origen sigui diferent. Cal recordar que les característiques d'un vector són precisament: origen, mòdul, direcció i sentit.

Els vectors es representen mitjançant un segment orientat o fletxa. A la figura 1 es mostra la representació de diversos vectors en el pla, alguns dels quals són equipol·lents segons la definició donada inicialment.

Figura 1. Vectors equipol·lents i no equipol·lents. Font: elaboració pròpia.

D'un primer cop d'ull és possible apreciar que els tres vectors de color verd tenen la mateixa mida, la mateixa direcció i el mateix sentit. Es pot afirmar el mateix sobre els dos vectors de color rosa i els quatre vectors negres.

Nombroses magnituds de la natura tenen un comportament de tipus vectorial, com és el cas de la velocitat, l'acceleració i la força, per nomenar només algunes. D'allí la importància de caracteritzar-los adequadament.

Notació per vectors i equipol·lència

Per distingir les quantitats vectorials de les quantitats escalars freqüentment s'usa la lletra de tipus negreta o una fletxa sobre la lletra. Quan es treballa amb vectors a mà, sobre el quadern, cal distingir amb la fletxa i quan s'usa un mitjà imprès, s'empren les negretes.

Els vectors poden denotar-indicant el seu punt de partida o origen i el seu punt d'arribada. Per exemple AB, BC, DE i EF de la figura 1 són vectors, en canvi AB, BC, DE i EF són quantitats escalars o números que indiquen la magnitud, mòdul o grandària dels seus respectius vectors.

Per a indicar que dos vectors són equipol·lents s'usa el símbol « ~«. Amb aquesta notació, en la figura podem assenyalar els següents vectors que són equipol·lents entre si:

AB~BC~DE~EF

Tots ells tenen la mateixa magnitud, direcció i sentit. Compleixen per tant amb la normativa que es va indicar anteriorment.

Vectors lliures, lliscants i oposats

Qualsevol dels vectors de la figura (per exemple AB) és representant del conjunt de tots els vectors fixos equipol·lents. Aquest conjunt infinit defineix la classe de vectors lliures o.

o = { AB, BC, DE, EF,….. }

Una notació alternativa és la següent:

Si no es col·loca la negreta o la fletxeta sobre la lletra u, és que ens volem referir a el mòdul de el vector o.

Els vectors lliures no estan aplicats a algun punt particular.

Per la seva banda els vectors lliscants són vectors equipol·lents a un vector donat, però el seu punt d'aplicació ha d'estar contingut en la recta d'acció de el vector donat.

I els vectors oposats són vectors que tenen igual magnitud i direcció però sentits contraris, tot i que en els textos en anglès se'ls anomena d'adreces contràries ja que la direcció també indica el sentit. Els vectors oposats no són equipol·lents.

exercicis

-Exercici 1

Quins altres vectors dels mostrats a la figura 1 són equipol·lents entre si?

solució

A part dels ja assenyalats en la secció anterior, s'observa a partir de la figura 1 que AD, BE i CE també són vectors equipol·lents entre si:

AD ~ BE ~ CE

Qualsevol d'ells és representant de la classe de vectors lliures v.

També són equipol·lents entre si els vectors AE i BF:

AE ~ BF

Que són representants de la classe w.

-Exercici 2

Els punts A, B i C estan sobre el pla cartesià XY i les seves coordenades són:

A = (- 4,1), B = (- 1,4) i C = (- 4, -3)

Trobi les coordenades d'un quart punt D de manera tal que els vectors AB i CD siguin equipol·lents.

solució

Perquè CD sigui equipolente a AB ha de tenir el mateix mòdul i la mateixa direcció que AB.

El mòdul de AB elevat a el quadrat és:

- AB - ^ 2 = (-1 - (-4)) ^ 2 + (4 -1) ^ 2 = 9 + 9 = 18

Les coordenades de D són desconegudes per la qual cosa podem dir: D = (x, y)

Llavors: - CD - ^ 2 = (x - (- 4)) ^ 2 + (i - (-3)) ^ 2

Com - AB - = - CD - és una de les condicions perquè AB i CD siguin equipol·lents es té:

(X + 4) ^ 2 + (i + 3) ^ 2 = 18

Ja que es tenen dos incògnites es requereix d'una altra equació, la qual pot aconseguir-se de la condició que AB i CD siguin paral·lels i en el mateix sentit.

Pendent de el vector AB

El pendent de el vector AB indica la seva adreça:

Pendent AB = (4 -1) / (- 1 - (-4)) = 3/3 = 1

Indicant que el vector AB forma 45º amb l'eix X.

Pendent de el vector CD

El pendent de CD es calcula de manera similar:

Pendent CD = (i - (-3)) / (x - (- 4)) = (i + 3) / (x + 4)

Igualant aquest resultat amb el pendent de AB es té la següent equació:

i +3 = x + 4

El que vol dir que i = x + 1.

Si aquest resultat es substitueix en l'equació de la igualtat dels mòduls es té:

(X + 4) ^ 2 + (x + 1 + 3) ^ 2 = 18

Simplificant queda:

2 (x + 4) ^ 2 = 18, Que equival a:

(X + 4) ^ 2 = 9

És a dir x + 4 = 3 el que implica que x = -1. De manera que les coordenades de D són (-1, 0).

verificació

Les components de el vector AB són (-1 - (- 4), 4 -1) = (3; 3)

i les de el vector CD són (-1 - (- 4)); 0 - (- 3)) = (3; 3)

El que significa que els vectors són equipol·lents. Si dos vectors tenen iguals components cartesianes tenen igual mòdul i direcció, per tant són equipol·lents.

-Exercici 3

El vector lliure o té magnitud 5 i direcció 143,1301º.

Trobi els seus components cartesianes i determini les coordenades dels punts B i C sabent que els vectors fixos AB i CD són equipol·lents a u. Les coordenades de A són (0, 0) i les coordenades del punt C són (-3,2).

solució

1. Cálculo.cc. Vector fix. Vector lliure. Recuperat de: calculo.cc
2. Descartes 2D. Vectors fixos i vectors lliures de el pla. Recuperat de: recursostic.educacion.es
3. Projecte Guao. Vectors equipol·lents. Recuperat de: guao.org
4. Resnick, R., Krane, K. (2001). Physics (en anglès). Nova York: John Wiley & Sons.
5. Serway, R.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (en anglès) (6a edició). Brooks / Cole.
6. Tipler, Paul A. (2000). Física per a la Ciència i la Tecnologia. Volum I. Barcelona: Ed. Reverté.
7. Weisstein, I. "Vector". En Weisstein, Eric W. MathWorld (en anglès). Wolfram Research.