- exemples
- Factorització d'una diferència de cubs
- exemple 1
- exemple 2
- exemple 3
- exercici resolts
- exercici 1
- solució a
- solució b
- exercici 2
- solució
- referències
La diferència de cubs és una expressió algebraica binomial de la forma a 3 - b 3, on els termes aib poden ser nombres reals o també expressions algebraiques de diversos tipus. Un exemple de diferència de cubs és: 8 - x 3, ja que 8 es pot escriure com 2 3.
Geomètricament podem pensar en una galleda gran, de costat a, a el qual se li resta el cub petit de costat b, com s'il·lustra a la figura 1:
Figura 1. Una diferència de cubs. Font: F. Zapata.
El volum de la figura resultant és precisament una diferència de cubs:
V = a 3 - b 3
Per trobar una expressió alternativa s'observa que aquesta figura es pot descompondre en tres prismes, com es mostra a continuació:
Figura 2. La diferència de cubs (esquerra de la igualtat) és igual a la suma dels volums parcials (dreta). Font: F. Zapata.
Un prisma té un volum donat pel producte de les seves tres dimensions: ample x alt x profunditat. D'aquesta manera, el volum resultant és:
V = a 3 - b 3 = a 2.b + b 3 + ab 2
El factor b és comú a la dreta. A més, a la figura mostrada a dalt es compleix en particular que:
b = (a / 2) ⇒ a = b + b
Per tant es pot dir que: b = a - b. D'aquesta manera:
Aquesta manera d'expressar la diferència de cubs demostrarà ser molt útil en multitud d'aplicacions i s'hauria obtingut de la mateixa manera, encara que el costat de la galleda que falta a la cantonada fos diferent a b = a / 2.
Cal notar que el segon parèntesi s'assembla molt a l'producte notable de l'quadrat de la suma, però el terme creuat no està multiplicat per 2. El lector pot desenvolupar el costat dret per verificar que efectivament s'obté a 3 - b 3.
exemples
Hi ha diverses diferències de cubs:
1 - m 6
a 6 b 3 - 8z 12 i 6
(1/125).x 6 - 27.y setembre
Analitzem cadascuna d'elles. En el primer exemple, l'1 es pot escriure com 1 = 1 3 i el terme m 6 queda: (m 2) març. Tots dos termes són cubs perfectes, per tant la seva diferència és:
1 - m 6 = 1 3 - (m 2) març
En el segon exemple es reescriuen els termes:
a 6 b 3 = (a 2 b) 3
8z 12 i 6 = 2 3 (z 4) març (i 2) març = (2z 4 i 2) març
La diferència d'aquests cubs queda: (a 2 b) 3 - (2z 4 i 2) març.
Finalment, la fracció (1/125) és (1/5 3), x 6 = (x 2) 3, 27 = 3 3 ii 9 = (i 3) març. Substituint tot això en l'expressió original, s'obté:
(1/125).x 6 - 27y 9 = 3 - (3y 3) març
Factorització d'una diferència de cubs
Factoritzar la diferència de cubs simplifica moltes operacions algebraiques. Per a això n'hi ha prou amb usar la fórmula deduïda anteriorment:
Figura 3. Factorització de la diferència de cubs i expressió d'un quocient notable. Font: F. Zapata.
Ara bé, el procediment per aplicar aquesta fórmula consta de tres passos:
- En primer lloc s'obté l'arrel cúbica de cada un dels termes de la diferència.
- Després es construeixen el binomi i el trinomi que apareixen a la part dreta de la fórmula.
- Finalment es substitueixen el binomi i el trinomi per obtenir la factorització definitiva.
Il·lustrem l'ús d'aquests passos amb cada un dels exemples de diferència de cubs proposats dalt i obtinguem així el seu equivalent factoritzat.
exemple 1
Factoritzar l'expressió 1 - m 6 seguint els passos descrits. Comencem reescrivint l'expressió com 1 - m 6 = 1 3 - (m 2) març per extreure les respectives arrels cúbiques de cada terme:
Seguidament es construeixen el binomi i el trinomi:
a = 1
b = m 2
llavors:
a - b = 1 - m 2
(a 2 + b + b 2) = 1 2 + 1.m 2 + (m 2) 2 = 1 + m 2 + m 4
Finalment es substitueix en la fórmula a 3 - b 3 = (ab) (a 2 + b + b 2):
1 - m 6 = (1 - m 2) (1 + m 2 + m 4)
exemple 2
factoritzar:
a 6 b 3 -8z 12 i 6 = (a 2 b) 3 - (2z 4 i 2) març
Ja que es tracta de cubs perfectes, les arrels cúbiques són immediates: a 2 b i 2z 4 i 2, d'allí se segueix que:
- Binomi: a 2 b - 2z 4 i 2
- Trinomi: (a 2 b) 2 + a 2 b. 2z 4 i 2 + (a 2 b + 2z 4 i 2) febrer
I ara es construeix la factorització desitjada:
a 6 b 3 -8z 12 i 6 = (a 2 b - 2z 4 i 2). =
= (A 2 b - 2z 4 i 2).
En principi està a punt la factorització, però sovint cal simplificar cada terme. Llavors es desenvolupa el producte notable -Quadrat d'una sumat que apareix a al final i després sumar termes semblants. Recordant que el quadrat d'una suma és:
El producte notable a la dreta es desenvolupa d'aquesta manera:
(a 2 b + 2z 4 i 2) 2 = a 4 b 2 + 4a 2 b.z 4 i 2 + 4z 8 i 4
Substituint el desenvolupament obtingut en la factorització de la diferència de cubs:
a 6 b 3 -8z 12 i 6 = (a 2 b - 2z 4 i 2). =
Finalment, agrupant termes semblants i factoritzant els coeficients numèrics, que són tots parells, s'obté:
(a 2 b - 2z 4 i 2). = 2 (a 2 b - 2z 4 i 2).
exemple 3
Factoritzar (1/125).x 6 - 27y setembre és bastant més senzill que el cas anterior. Primer s'identifiquen els equivalents de ai de b:
a = (1/5) x 2
b = 3y 3
Després es substitueixen directament en la fórmula:
(1/125).x 6 - 27y 9 =.
exercici resolts
La diferència de cubs té, com hem dit, varietat d'aplicacions en el Àlgebra. Vegem algunes:
exercici 1
Resoldre les següents equacions:
a) x 5 - 125 x 2 = 0
b) 64-729 x 3 = 0
solució a
Primer es factoritza l'equació d'aquesta manera:
x 2 (x 3 - 125) = 0
Com 125 és un cub perfecte, el parèntesi s'escriu com una diferència de cubs:
x 2. (x 3 - 5 3) = 0
La primera solució és x = 0, però vam trobar més si fem x 3 - 5 3 = 0, llavors:
x 3 = 5 3 → x = 5
solució b
Es reescriu la banda esquerra de l'equació com 64-729 x 3 = 4 3 - (9x) març. Per tant:
4 març - (9x) 3 = 0
Ja que l'exponent és el mateix:
9x = 4 → x = 9/4
exercici 2
Factoritzar l'expressió:
(x + i) 3 - (x - i) 3
solució
Aquesta expressió és una diferència de cubs, si a la fórmula de la factorització notem que:
a = x + i
b = x i
Llavors es construeix primer el binomi:
a - b = x + i - (x- i) = 2y
I ara el trinomi:
a 2 + b + b 2 = (x + i) 2 + (x + i) (xi) + (xi) 2
Es desenvolupen els productes notables:
De seguida cal substituir i reduir els termes semblants:
a 2 + b + b 2 = x 2 + 2xy + i 2 + x 2 - i 2 + x 2 - 2xy + i 2 = 3x 2 + i 2
La factorització resulta en:
(x + i) 3 - (x - i) 3 = 2y. (3x 2 + i 2)
referències
- Baldor, A. 1974. Àlgebra. Editorial Cultural Veneçolana SA
- CK-12 Foundation. Suma i diferència de cubs. Recuperat de: ck12.org.
- Khan Academy. Factorització de diferències de cubs. Recuperat de: es.khanacademy.org.
- Math is Fun Advanced. Difference of two cubes. Recuperat de: mathsisfun.com
- UNAM. Factorització d'una diferència de cubs. Recuperat de: dcb.fi-c.unam.mx.