ACCELERACIÓ CENTRÍPETA: DEFINICIÓ, FÓRMULES, CÀLCUL, EXERCICIS - FÍSICA - 2025

La acceleració centrípeta a _c, també anomenada radial o normal, és l'acceleració que porta un objecte mòbil quan descriu una trajectòria circular. La seva magnitud és v ² / r, on r és el radi de l'cercle, està dirigida cap al centre de la mateixa i és la responsable que el mòbil es mantingui en el seu recorregut.

Les dimensions de l'acceleració centrípeta són longitud per unitat de temps a el quadrat. En el Sistema Internacional són m / s ². Si per alguna raó l'acceleració centrípeta desapareix, també ho fa la força que obliga el mòbil a mantenir la trajectòria circular.

Els objectes que giren tenen acceleració centrípeta, la qual està dirigida cap al centre de la trajectòria. Font: Pixabay

Això és el que li passa a un acte que intenta donar una corba sobre una pista plana i gelada, en què el fregament entre el pis i les rodes és insuficient perquè el cotxe prengui la corba. Per tant l'única possibilitat que li queda és la de moure en línia recta i per això se surt de la corba.

Els moviments circulars

Quan un objecte es mou en cercle, en tot moment l'acceleració centrípeta està dirigida radialment cap al centre de la circumferència, direcció que és perpendicular a la trajectòria seguida.

Com la velocitat sempre és tangent a la trajectòria, llavors la velocitat i l'acceleració centrípeta resulten ser perpendiculars. Per tant la velocitat i l'acceleració no sempre tenen la mateixa direcció.

Sota aquestes circumstàncies, el mòbil té la possibilitat de descriure la circumferència amb rapidesa constant o variable. El primer cas es coneix com a Moviment Circular Uniforme o MCU per les seves sigles, el segon cas serà un Moviment Circular Variable.

En els dos casos, l'acceleració centrípeta s'encarrega de mantenir a el mòbil donant voltes, ocupant-se de que la velocitat variï únicament en direcció i en sentit.

No obstant això, per tenir un Moviment Circular Variable caldria una altra component de l'acceleració en la mateixa direcció de la velocitat, que s'encarregui d'augmentar o disminuir la celeritat. Aquesta component de l'acceleració es coneix com acceleració tangencial.

El moviment circular variable i el moviment curvilini en general posseeixen les dues components de l'acceleració, perquè el moviment curvilini pot imaginar-se com el recorregut per innombrables arcs de circumferència que componen la trajectòria corba.

La força centrípeta

Ara bé, una força s'encarrega de proporcionar l'acceleració. Per a un satèl·lit que orbita la terra, és la força de gravetat. I ja que la gravetat actua sempre perpendicularment a la trajectòria, no altera la rapidesa de l'satèl·lit.

En aquest cas la gravetat actua com una força centrípeta, que no és una classe especial o part de força, sinó una que en el cas de l'satèl·lit, està dirigida radialment cap al centre de la terra.

En altres tipus de moviment circular, per exemple un cotxe que pren un revolt, el paper de la força centrípeta és interpretat pel frec estàtic i per una pedra lligada a una corda que es fa girar en cercles, la tensió a la corda és la força que obliga el mòbil a donar voltes.

Fórmules per a l'acceleració centrípeta

L'acceleració centrípeta es calcula mitjançant l'expressió:

ac = v ² / r

Diagrama per calcular l'acceleració centrípeta en un mòbil amb MCU. Font: Font: Ilevanat

A continuació s'ha de deduir aquesta expressió. Per definició l'acceleració és la variació de la velocitat en el temps:

El mòbil fa servir un temps Δ t en el recorregut, el qual és petit, ja que els punts estan molt propers.

La figura mostra també dos vectors de posició r ₁ i r ₂, el mòdul és el mateix: el radi r de la circumferència. L'angle entre els dos punts és Δφ. En verd ressalta l'arc recorregut pel mòbil, denotat com Δl.

A la figura de la dreta es veu que la magnitud de Δ v, el canvi en la velocitat, és aproximadament proporcional a Δl, ja que l'angle Δφ és petit. Però el canvi en la velocitat està relacionat precisament amb l'acceleració. De el triangle s'adverteix, per suma de vectors que:

v ₁ + Δ v = v ₂ → Δ v = v ₂ - v ₁

Δ v és interessant, ja que és proporcional a l'acceleració centrípeta. De la figura s'adverteix que sent petit l'angle Δφ, el vector Δ v és en essència perpendicular tant a v ₁ com a v ₂ i apunta el centre de la circumferència.

Encara que fins aquí els vectors es destaquen en negreta, per als efectes de naturalesa geomètrica que segueixen, es treballa amb els mòduls o magnituds d'aquests vectors, prescindint de la notació vectorial.

Una mica més: es necessita fer ús de la definició d'angle central, que és:

Δ φ = Δ l / r

Ara es comparen les dues figures, que són proporcionals ja que l'angle Δ φ és comú:

Dividint entre At:

a _c = v ² / r

exercici resolt

Una partícula es mou en un cercle de 2.70 m de radi. En determinat moment la seva acceleració és de 1.05 m / s ² en una direcció que fa un angle de 32.0º amb la direcció de moviment. Calculi la seva velocitat:

a) En aquest moment

b) 2.00 segons després, suposant acceleració tangencial constant.

Resposta

Es tracta d'un moviment circular variat, ja que l'enunciat indica que l'acceleració té un angle donat amb la direcció de el moviment que no és ni 0º (no podria tractar-se d'un moviment circular) ni 90º (seria un moviment circular uniforme).

Per tant les dues components -radial i tangencial- coexisteixen. Es denotaran com a _c ja _t i apareixen dibuixades en la següent figura. El vector en verd és el vector acceleració neta o simplement acceleració a.

Una partícula es mou en una trajectòria circular en sentit antihorari i moviment circular variat. Font: commons.wikimedia.org

a) Càlcul de les components de l'acceleració

a _c = a.cos θ = 1.05 m / s ². cos 32.0º = 0.89 m / s ² (en vermell)

a _t = a.sen θ = 1.05 m / s ². sin 32.0º = 0.57 m / s ² (en taronja)

Càlcul de la celeritat del mòbil

Ja que a _c = v ² / r, llavors:

v = v _o + a _t. t = 1.6 m / s + (0.57 x 2) m / s = 2.74 m / s

referències

1. Giancoli, D. Physics. 2006. Principles with Applications. Sixth Edition. Prentice Hall. 107- 108.
2. Hewitt, Paul. 2012. Conceptual Physical Science. Fifth Edition.Pearson.106 - 108.