MESURES DE TENDÈNCIA CENTRAL PER DADES AGRUPADES (EXEMPLES) - MATEMÀTIQUES - 2025

Les mesures de tendència central de dades agrupades s'utilitzen en estadística per descriure certs comportaments d'un grup de dades subministrades, com ara a quin valor estan pròxims, quin és la mitjana de les dades recollides, entre altres.

Quan es pren una quantitat gran de dades, és útil agrupar-los per tenir un millor ordre dels mateixos i així poder calcular certes mesures de tendència central.

Entre les mesures de tendència central més utilitzades estan la mitjana aritmètica, la mediana i la moda. Aquests números diuen certes qualitats sobre les dades recollides en determinat experiment.

Per utilitzar aquestes mesures és necessari primer saber com agrupar un conjunt de dades.

dades agrupats

Per agrupar dades primer s'ha de calcular el rang de les dades, el qual s'obté restant el major valor menys el menor valor de les dades.

Després es tria un nombre «k», el qual és el nombre de classes en les que es vulguin agrupar les dades.

Es procedeix a dividir el rang entre "k" per obtenir l'amplitud de les classes a agrupar. Aquest nombre és C = R / k.

Finalment es comença l'agrupació, per a això s'escull un nombre menor que el menor valor de les dades obtingudes.

Aquest número serà el límit inferior de la primera classe. A aquest se li suma C. El valor obtingut serà el límit superior de la primera classe.

Després, a aquest valor se li suma C i s'obté el límit superior de la segona classe. D'aquesta manera es procedeix fins a obtenir el límit superior de l'última classe.

Després que les dades estan agrupades es pot procedir a calcular la mitjana, la mediana i la moda.

Per il·lustrar com es calcula la mitjana aritmètica, la mediana i la moda es procedirà amb un exemple.

exemple

Per tant, a l'agrupar les dades s'obtindrà una taula com la següent:

Les 3 mesures de tendència central principals

Ara es procedirà a calcular la mitjana aritmètica, la mediana i la moda. S'utilitzarà l'exemple anterior per il·lustrar aquest procediment.

1- Mitjana aritmètica

La mitjana aritmètica consisteix a multiplicar cada freqüència per la mitjana de l'interval. Després es sumen tots aquests resultats, i finalment es divideix entre el total de dades.

Utilitzant l'exemple anterior s'obtindria que la mitjana aritmètica és igual a:

(4 * 2 + 4 * 4 + 6 * 6 + 4 * 8) / 18 = (8 + 16 + 36 + 32) / 18 = 5,11111

Això indica que el valor mitjà de les dades de la taula és 5,11111.

2- Mitjana

Per calcular la mitjana d'un conjunt de dades primer s'ordenen totes les dades de menor a major. Es poden presentar dos casos:

- Si el nombre de dades és imparell, llavors la mitjana és la dada que està just al centre.

- Si el nombre de dades és parell, llavors la mitjana és la mitjana de les dues dades que queden al centre.

Quan es tracta de dades agrupades, el càlcul de la mitjana es fa de la següent manera:

- Es calcula N / 2, on N és el total de dades.

- Es cerca la primera interval on la freqüència acumulada (la suma de les freqüències) sigui més gran que N / 2, i es selecciona el límit inferior d'aquest interval, anomenat Li.

La mitjana ve donada per la següent fórmula:

Em = Li + (Ls-Li) * (N / 2 - Freqüència Acumulada abans de Li) / freqüència de [Li, Ls)

Ls és el límit superior de l'interval esmentat anteriorment.

Si s'utilitza la taula de dades anterior s'ha de N / 2 = 18/02 = 9. Les freqüències acumulades són 4, 8, 14 i 18 (una per a cada fila de la taula).

Per tant, s'ha de seleccionar el tercer interval, atès que la freqüència acumulada és més gran que N / 2 = 9.

De manera que Li = 5 i Ls = 7. Aplicant la fórmula descrita anteriorment s'ha de:

Em = 5 + (7-5) * (9-8) / 6 = 5 + 2 * 1/6 = 5 + 1/3 = 16/3 ≈ 5,3333.

3- Moda

La moda és el valor que té major freqüència entre tots les dades agrupades; és a dir, és el valor que es repeteix més vegades en el conjunt de dades inicial.

Quan es té una quantitat de dades molt gran, per calcular la moda de les dades agrupades s'utilitza la següent fórmula:

Mo = Li + (Ls-Li) * (freqüència de Li - Freqüència de L (i-1)) / ((freqüència de Li - Freqüència de L (i-1)) + (freqüència de Li - Freqüència de L (i + 1)))

L'interval [Li, Ls) és l'interval on es troba la freqüència més gran. Per l'exemple fet en aquest article s'ha de la moda ve donada per:

Mo = 5 + (7-5) * (6-4) / ((6-4) + (6-4)) = 5 + 2 * 2/4 = 5 + 1 = 6.

Una altra fórmula que s'utilitza per obtenir un valor aproximat a la moda és la següent:

Mo = Li + (Ls-Li) * (freqüència L (i + 1)) / (freqüència L (i-1) + freqüència L (i + 1)).

Amb aquesta fórmula, els comptes queden com segueix a continuació:

Mo = 5 + (7-5) * 4 / (4 + 4) = 5 + 2 * 4/8 = 5 + 1 = 6.

referències

1. Bellhouse, DR (2011). Abraham De Moivre: Setting the Stage for Classical Probability and Its Applications. CRC Press.
2. Cifuentes, JF (2002). Introducció a la Teoria de Probabilitat. Univ. Nacional de Colòmbia.
3. Daston, L. (1995). Classical Probability in the Enlightenment. Princeton University Press.
4. Larson, HJ (1978). Introducció a la teoria de probabilitats i inferència estadística. Editorial Limusa.
5. Martel, PJ, & Vegas, FJ (1996). Probabilitat i estadística matemàtica: aplicacions a la pràctica clínica i en la gestió sanitària. Edicions Díaz de Santos.
6. Vázquez, A EL, & Ortiz, FJ (2005). Mètodes estadístics per mesurar, descriure i controlar la variabilitat. Ed. Universitat de Cantàbria.
7. Vázquez, SG (2009). Manual de Matemàtiques per a accés a la Universitat. Editorial Centre d'Estudis Ramon Areces SA.