GEOMETRIA EUCLIDIANA: HISTÒRIA, CONCEPTES BÀSICS I EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2026

La geometria euclidiana correspon a l'estudi de les propietats dels espais geomètrics on es satisfan els axiomes d'Euclides. Si bé aquest terme de vegades és usat per abastar geometries que tenen dimensions superiors amb propietats semblants, en general és sinònim de geometria clàssica o de geometria plana.

Al segle III a. C. Euclides i els seus deixebles van escriure els Elements, una obra que englobava el saber matemàtic de l'època dotada d'una estructura lògica-deductiva. Des de llavors la geometria es va tornar una ciència, inicialment per resoldre problemes clàssics i va evolucionar fins a ser una ciència formativa que ajuda a raonar.

història

Per parlar de la història de la geometria euclidiana és imprescindible començar amb Euclides d'Alexandria i els Elements.

A l'quedar Egipte en mans de Ptolomeu I, després de la mort d'Alexandre el Gran, aquest va començar el seu projecte en una escola d'Alexandria.

Entre els savis que ensenyaven a l'escola es trobava Euclides. S'especula que el seu naixement data aproximadament de l'325 a. C. i la seva mort de l'265 a. C. Podem saber amb certesa que va anar a l'escola de Plató.

Durant més de trenta anys Euclides va ensenyar a Alexandria, construint els seus famosos elements: va començar a escriure una descripció exhaustiva de les matemàtiques del seu temps. Els ensenyaments d'Euclides van produir excel·lents deixebles, com Arquímedes i Apol·loni de Perga.

Euclides es va encarregar d'estructurar els descobriments dispars dels grecs clàssics en els Elements, però a diferència dels seus predecessors no es limita a afirmar que un teorema és veritable; Euclides ofereix una demostració.

Els Elements són un compendi de tretze llibres. Després de la Bíblia, és el llibre més editat, amb més de mil edicions.

Els Elements d'Euclides

Els Elements és l'obra mestra d'Euclides en el camp de la geometria, i ofereix un tractament definitiu de la geometria de dues dimensions (el pla) i tres dimensions (l'espai), sent aquest l'origen del que ara coneixem com a geometria euclidiana.

conceptes bàsics

Els elements estan conformats per definicions, nocions comunes i postulats (o axiomes) seguits de teoremes, construccions i demostracions.

- Un punt és allò que no té parts.

- Una línia és una longitud que no té amplada.

- Una línia recta és la que jeu per igual amb relació als punts que estan en aquesta.

- Si dues rectes es tallen de manera que els angles adjacents siguin iguals, els angles s'anomenen rectes i les línies s'anomenen perpendiculars.

- Rectes paral·leles són aquelles que, estant en un mateix pla, mai es tallen.

Després d'aquestes i altres definicions, Euclides ens presenta una llista de cinc postulats-cinc nocions.

nocions comunes

- Dues coses que són iguals a una tercera, són iguals entre si.

- Si a coses iguals s'afegeixen coses iguals, els resultats són iguals.

- Si a coses iguals se li resten coses iguals, els resultats són iguals.

- Les coses que coincideixen entre si són iguals entre si.

- El total és més gran que una part.

Postulats o axiomes

- Per dos punts diferents hi passa una i només una recta.

- Les línies rectes poden estendre indefinidament.

- Es pot dibuixar un cercle amb qualsevol centre i qualsevol ràdio.

- Tots els angles rectes són iguals.

- Si una línia recta creua a dues línies rectes de manera que els angles interns d'un mateix costat sumen menys que dos angles rectes, llavors les dues rectes es creuaran en aquest costat.

Aquest últim postulat es coneix com el postulat de les paral·leles i va ser reformulat de la següent manera: "Per un punt exterior a una recta, es pot traçar una única paral·lela a la recta donada".

exemples

A continuació, alguns teoremes dels Elements serviran per mostrar propietats d'espais geomètrics on es compleixen els cinc postulats d'Euclides; a més, il·lustraran els raonaments lògics-deductius dels que es va valer aquest matemàtic.

primer exemple

Proposició 1.4. (LAL)

Si dos triangles tenen dos costats i l'angle entre aquests iguals, llavors els altres costats i els altres angles són iguals.

demostració

Siguin ABC i A'B'C 'dos ​​triangles amb AB = A'B', AC = A'C 'i els angles BAC i B'A'C' iguals. Desplacem a el triangle A'B'C 'de manera que A'B' coincideixi amb AB i que l'angle B'A'C 'coincideixi amb l'angle BAC.

Llavors, la línia A'C 'coincideix amb la línia AC, de manera que C' coincideix amb C. Després, pel postulat 1, la línia BC ha de coincidir amb la línia B'C '. Per tant els dos triangles coincideixen i, en conseqüència, els seus angles i els seus costats són iguals.

segon exemple

Proposició 1.5. (

Suposem que el triangle ABC té costats AB i AC iguals.

Llavors, els triangles ABD i ACD tenen dos costats iguals i els angles entre aquests són iguals. Així, per la proposició 1.4, els angles ABD i ACD són iguals.

tercer exemple

proposició 1.31

Es pot construir una recta paral·lela a una recta donada per un punt donat.

construcció

Donada una recta L i un punt P, es traça una recta M que passi per P i tall a L. Després es traça per P una recta N que talli a L. Ara, es traça per P una recta N que talli a M, formant un angle igual a què l forma amb el Sr.

afirmació

N és paral·lela a L.

demostració

Suposem que L i N no són paral·leles i es tallen en un punt A. Sigui B un punt en L més enllà d'A Considerem la recta O que passa per B i P. Llavors, O talla a M formant angles que sumen menys que dos rectes.

Després, per 1.5 la recta O de tallar a la recta L de l'altre costat de M, així que L i O es creuen en dos punts, el que contradiu el postulat 1. Per tant, L i N han de ser paral·leles.

referències

1. Euclides.Elementos de Geometria. Universitat Nacional Autònoma de Mèxic
2. Euclides. Els sis primers llibres i l'onzè i dotzè dels elements d'Euclides
3. Eugenio Filloy Yague. Didactica i història de la geometria Euclidiana.Grupo Editorial Iberoamericà
4. K.Ribnikov. Història de les Matemàtiques. Mir Editorial
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Geometria Analítica Plana. Editorial Veneçolana CA