S'entén per conjunt finit tot conjunt amb un nombre limitat o comptable d'elements. Exemples de conjunts finits són les bales que estan contingudes en una bossa, el conjunt dels habitatges en un veïnat, o el conjunt P format pels vint (20) primers nombres naturals:
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
El conjunt de les estrelles de l'univers amb tota seguretat és immens, però no se sap amb certesa si és finit o infinit. No obstant això, el conjunt dels planetes del sistema solar és finit.
Figura 1. El conjunt dels polígons és finit i el subconjunt dels regulars també. (Wikimedia Commons)
A el nombre d'elements d'un conjunt finit se l'anomena la seva cardinalitat i per al conjunt P es denota així: Card (P) o # P. El conjunt buit té cardinalitat zero i es considera un conjunt finit.
propietats
Entre les propietats dels conjunts finits es tenen les següents:
1- La unió de conjunts finits dóna lloc a un nou conjunt finit.
2- Si dos conjunt finits es intercepten, resulta un nou conjunt finit.
3- Un subconjunt d'un conjunt finit és finit i la seva cardinalitat és menor o igual a la del conjunt original.
4- El conjunt buit és un conjunt finit.
exemples
Són molts els exemples de conjunts finits. Entre alguns exemples hi ha els següents:
El conjunt M dels mesos de l'any, que en forma estesa pot escriure així:
M = {gener, febrer, març, abril, maig, juny, juliol, agost, setembre, octubre, novembre, desembre}, la cardinalitat de M és de 12.
El conjunt S dels dies de la setmana: S = {dilluns, dimarts, dimecres, dijous, divendres, dissabte, diumenge}. La cardinalitat de S és 7.
El conjunt Ñ de les lletres de l'abecedari espanyol és un conjunt finit, aquest conjunt per extensió s'escriu així:
Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, i, z} i la seva cardinalitat és 27.
El conjunt V de les vocals en espanyol és un subconjunt del conjunt Ñ:
V ⊂ Ñ per tant és un conjunt finit.
El conjunt finit V en forma extensiva s'escriu així: V = {a, i, i, o, u} i la seva cardinalitat és de 5.
Els conjunts poden ser expressats per comprensió. El conjunt F conformat per les lletres de la paraula "finit" és un exemple:
F = {x / x és una lletra de la paraula "finit"}
Dit conjunt expressat en forma extensiva serà:
F = {f, i, n, t, o} la cardinalitat és 5 i per tant és un conjunt finit.
més exemples
Els colors de l'arc de sant Martí és un altre exemple de conjunt finit, el conjunt C d'aquests colors és:
C = {vermell, taronja, groc, verd, cian, blau, violeta} i la seva cardinalitat és 7.
El conjunt de les fases F de la Lluna és un altre exemple de conjunt finit:
F = {lluna nova, quart creixent, lluna plena, quart minvant} aquest conjunt té cardinalitat 4.
Figura 2. Els planetes del sistema solar formen un conjunt finit. (Pixabay)
Un altre conjunt finit és el format pels planetes del sistema solar:
P = {Mercuri, Venus, Terra, Mart, Júpiter, Saturn, Urà, Neptú, Plutó} de cardinalitat setembre.
exercicis Resolts
exercici 1
Es dóna el següent conjunt A = {xε R / x ^ 3 = 27}. Expressar-ho en paraules i escriure-ho per extensió, indicar la seva cardinalitat i dir si és o no és finit.
Solució: El conjunt A és el conjunt dels nombres reals x tal que x elevat a la galleda de com a resultat 27.
L'equació x ^ 3 = 27 té tres solucions: que són x1 = 3, x2 = (-3/2 + 3√3 / 2 i) i x3 = (-3/2 - 3√3 / 2 i). De les tres solucions només x1 és real, mentre que les altres dos són nombres complexos.
Com la definició del conjunt A diu que x pertany als nombres reals, llavors les solucions en els nombres complexos no formen part del conjunt A.
El conjunt A expressat extensivament és:
A = {3}, el qual és un conjunt finit de cardinalitat 1.
exercici 2
Escriure en forma simbòlica (per comprensió) i en forma extensiva el conjunt B dels nombres reals que són més grans que 0 (zero) i menors o iguals que 0 (zero). Indiqui la seva cardinalitat i si és o no és finit.
Solució: B = {xε R / 0 <x <= 0}
El conjunt B és buit perquè un nombre real x no pot ser simultàniament major i menor que zero, així com tampoc pot ser 0 i també menor que 0.
B = {} i la seva cardinalitat és 0. El conjunt buit és un conjunt finit.
exercici 3
Es dóna el conjunt S de les solucions de certa equació. El conjunt S per comprensió s'escriu així:
S = {xε R / (x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0}
Escriure dit conjunt en forma extensiva, indicar la seva cardinalitat i indicar si és o no un conjunt finit.
Solució: En primer lloc, a l'analitzar l'expressió que descriu a el conjunt S, s'obté que es tracta d'un conjunt de valors x reals que són solucions de l'equació:
(X-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0 (*)
Una solució d'aquesta equació és x = 3, el qual és un nombre real i per tant pertany a S. Però hi ha més solucions les que es poden obtenir buscant les solucions de l'equació quadràtica:
(X ^ 2 - 9x + 20) = 0
L'expressió anterior pot factorizarse de la següent manera:
(X - 4) (x - 5) = 0
El que ens condueix a dues solucions més de l'equació original (*) que són x = 4 ix = 5. En definitiva l'equació (*) té com a solucions 3, 4 i 5.
El conjunt S expressat en forma extensiva queda així:
S = {3, 4, 5}, el qual té cardinalitat 3 i per tant és un conjunt finit.
exercici 4
Es tenen dos conjunts A = {1, 5, 7, 9, 11} i B = {x ε N / x és parell ^ x <10}.
Escriure en forma explícita el conjunt B i trobar la unió amb el conjunt A. Trobar també la intercepció d'aquests dos conjunts i concloure.
Solució: el conjunt B està conformat pels nombres naturals tals que siguin parells ia més siguin menors que el valor 10, per tant en conjunt B en forma extensiva s'escriu així:
B = {2, 4, 6, 8}
La unió del conjunt A amb el conjunt B és:
AUB = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11}
i la intercepció de el conjunt A amb el conjunt B s'escriu així:
A ⋂ B = {} = Ø és el conjunt buit.
Ha de notar-se que la unió i la intercepció d'aquests dos conjunts finits condueixen a nous conjunts, els quals al seu torn són també finits.
referències
- Fonts, A. (2016). MATEMÀTIQUES BÀSIQUES. Una Introducció a l'Càlcul. Lulu.com.
- Garo, M. (2014). Mathematics: quadratic equations: How solve a quadratic equation. Marilú Garo.
- Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matemàtiques per a administració i economia. Pearson Educació.
- Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matemàtiques 1 SET. Llindar.
- Preciado, CT (2005). Curs de Matemàtiques 3r. Editorial Progrés.
- Matemàtiques 10 (2018). «Exemples de Conjunts Finits». Recuperat de: matematicas10.net
- Rock, NM (2006). Àlgebra I Is Easy! So Easy. Team Rock Press.
- Sullivan, J. (2006). Àlgebra i Trigonometria. Pearson Educació.
- Wikipedia. Conjunt Finit. Recuperat de: es.wikipedia.com