TRIANGLE EQUILÀTER: CARACTERÍSTIQUES, PROPIETATS, FÓRMULES, ÀREA - MATEMÀTIQUES - 2026

Un triangle equilàter és un polígon de tres costats, on tots són iguals; és a dir, tenen la mateixa mida. Per aquesta característica se li va donar el nom de equilàter (costats iguals).

Els triangles són polígons considerats com els més simples en la geometria, perquè estan formats tres costats, tres angles i tres vèrtexs. En el cas de el triangle equilàter, per tenir costats iguals, implica que els seus tres angles també ho seran.

Un exemple de triangle equilàter

Característiques dels triangles equilàters

- Costats iguals

Els triangles equilàters són figures planes i tancades, compostes per tres segments de rectes. Els triangles són classificats per les seves característiques, en relació als seus costats i angles; el equilàter va ser classificat usant com a paràmetre la mesura dels seus costats, ja que aquests són exactament iguals, és a dir, són congruents.

El triangle equilàter és un cas particular de el triangle isòsceles pel fet que dos dels seus costats són congruents. Per això tots els triangles equilàters són també isòsceles, però no tots els triangles isòsceles seran equilàters.

D'aquesta forma els triangles equilàters tenen les mateixes propietats d'un triangle isòsceles.

Els triangles equilàters també pot ser classificats per l'amplitud dels seus angles interns com triangle acutangle equilàter, el qual té els tres costats i tres angles interns amb la mateixa mesura. Els angles han de ser aguts, és a dir, seran menors a 90 ^o.

- Components

Els triangles en general posseeixen diverses rectes i punts que el componen. Són utilitzats per calcular l'àrea, els costats, els angles, la mitjana, bisectriu, la mediatriu i l'altura.

• La mitjana: és una recta que surt des del punt mitjà d'un costat i arriba a el vèrtex oposat. Les tres mitjanes concorren en un punt anomenat baricentre o centroide.
• La bisectriu: és una semirecta que divideix l'angle dels vèrtexs en dos angles d'igual mesura, per això és conegut com a eix de simetria. El triangle equilàter posseeix tres eixos de simetria. En el triangle equilàter la bisectriu es traça des del vèrtex d'un angle fins a la seva banda oposada, tallant-lo en el seu punt mig. Aquestes concorren en punt anomenat incentre.
• La mediatriu: és un segment perpendicular a la banda de el triangle que té origen en la meitat d'aquest. Hi ha tres mediatices en un triangle i elles concorren en un punt anomenat circumcentre.
• L'altura: és la recta que va des del vèrtex fins al costat que és oposat i més aquesta recta és perpendicular a aquest costat. Tots els triangles tenen tres altures que coincideixen en un punt anomenat ortocentre.

En el següent gràfic observem un triangle escalè on es detallen alguns dels components esmentats

La bisectriu, la mitjana i mediatriu són coincidents

La bisectriu divideix el costat d'un triangle en dues parts. En els triangles equilàters aquest costat serà dividit en dues parts exactament iguals, és a dir, el triangle serà dividit en dos triangles rectangles congruents.

Així, la bisectriu traçada des de qualsevol angle d'un triangle equilàter coincideix amb la mitjana i la mediatriu d'el costat oposat a aquest angle.

exemple:

A la següent figura s'observa el triangle ABC amb un punt mitjà D que divideix a un dels seus costats en dos segments AD i BD.

A l'traçar una recta des del punt D fins al vèrtex oposat, per definició s'obté la mitjana CD, que és relativa a l'vèrtex C i a el costat AB.

Com el segment CD divideix el triangle ABC en dos triangles iguals CDB i CDA, vol dir que es tindrà el cas de congruència: costat, angle, costat i per tant CD també serà la bisectriu de BCD.

A l'traçar el segment CD, es divideix l'angle de vèrtex en dos angles iguals de 30 ^o, l'angle de vèrtex A segueix mesurant 60 ^o i la recta CD forma un angle de 90 ^o pel que fa a el punt mitjà D.

El segment CD forma angles que tenen la mateixa mida per als triangles ADC i BDC, és a dir, són suplementaris de tal manera que la mida de cada un serà:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180 ^o

2 _* Med. (ADC) = 180 ^o

Med. (ADC) = 180 ^o ÷ 2

Med. (ADC) = 90 ^o.

I així, s'ha del segment CD també és la mediatriu d'el costat AB.

La bisectriu i l'altura són coincidents

A l'traçar la bisectriu des del vèrtex d'un angle fins al punt mig de la banda oposada, aquesta divideix el triangle equilàter en dos triangles congruents.

De tal manera que es forma un angle de 90 ^o (recte). Aquest indica que aquest segment de recta és totalment perpendicular a aquest costat, i per definició aquesta recta seria l'altura.

D'aquesta manera la bisectriu de qualsevol angle d'un triangle equilàter, coincideix amb l'altura relativa a la banda oposada d'aquest angle.

Ortocentre, baricentre, incentre i circumcentre coincidents

Com l'altura, mitjana, bisectriu i mediatriu són representades a la vegada per un mateix segment, en un triangle equilàter els punts de trobada d'aquests segments -el ortocentre, baricentre, incentre i circuncentro-, es trobessin en un mateix punt:

propietats

La principal propietat dels triangles equilàters, és que sempre seran triangles isòsceles, ja que els isòsceles són formats per dos costats congruents i els equilàters per tres.

D'aquesta manera, els triangles equilàters van heretar totes les propietats de l'triangle isòsceles:

angles interns

La suma dels angles interns és sempre igual a 180 ^o, i com tots els seus angles són congruents, llavors cada un d'aquests va a mesurar 60 ^o.

angles externs

La suma dels angles externs sempre serà igual a 360 ^o, per tant cada angle extern va mesurar 120 ^o. Això és a causa que els angles interns i externs són suplementares, és a dir, a l'sumar-los sempre seran iguals a 180 ^o.

Suma dels costats

La suma de les mesures de dos costats sempre ha de ser major que la mesura de l'tercer costat, és a dir, a + b> c, on a, bic són les mesures de cada costat.

costats congruents

Els triangles equilàters tenen els seus tres costats amb la mateixa mida o longitud; és a dir, són congruents. Per tant, en l'item anterior s'ha d'a = b = c.

angles congruents

Els triangles equilàters són coneguts també com triangles equiangles, perquè els seus tres angles interns són congruents entre ells. Això és degut a que tots els seus costats també tenen la mateixa mida.

Com calcular el perímetre?

El perímetre d'un polígon és calculat mitjançant la suma dels costats. Com en aquest cas el triangle equilàter té tots els seus costats amb la mateixa mesura, el seu perímetre es calcula amb la següent fórmula:

P = 3 _* costat.

Com calcular l'altura?

Com l'altura és la recta perpendicular a la base, la divideix en dues parts iguals a l'prolongar fins al vèrtex oposat. Així són formats dos triangles rectangles iguals.

L'altura (h) representa el catet oposat (a), la meitat de la banda AC a l'catet adjacent (b) i el costat BC representa la hipotenusa (c).

Utilitzant el teorema de Pitàgores, es pot determinar el valor de l'altura:

3 _* l = 450 m.

P = 3 _* l

P = 3 _* 71,6 m

P = 214,8 m.

referències

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Dibuix Tècnic: quadern d'activitats.
2. Arthur Goodman, LH (1996). Àlgebra i trigonometria amb geometria analítica. Pearson Educació.
3. Baldor, A. (1941). Àlgebra. L'Havana: Cultura.
4. BARBOSA, JL (2006). Geometria Euclidiana Plana. SBM. Rio de Janeiro,.
5. Coxford, A. (1971). Geometry A Transformation Approach. USA: Laidlaw Brothers.
6. Euclid, RP (1886). Euclid 's Elements of Geometry.
7. Hèctor Trejo, JS (2006). Geometria i Trigonometria.
8. Lleó Fernández, GS (2007). Geometria integrada. Institut Tecnològic Metropolità.
9. Sullivan, J. (2006). Àlgebra i Trigonometria. Pearson Educació.