TESELADOS: CARACTERÍSTICA, TIPUS (REGULARS, IRREGULARS), EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2026

Els teselados són superfícies recobertes per una o més figures anomenades tessel·les. Estan per tot arreu: en carrers i edificacions de tota mena. Les tessel·les o rajoles són peces planes, generalment polígons amb còpies congruents o isomètriques, les quals es col·loquen seguint un patró regular. D'aquesta manera no queden espais sense ser coberts i les rajoles o mosaics no se superposen.

En el cas que s'empri un sol tipus de mosaic format per un polígon regular es té llavors un teselado regular, però si es fan servir dos o més tipus de polígons regulars es tracta llavors d'un tessel·lat semiregular.

Figura 1. Pis de rajoles amb tessel·lat irregular, perquè els rectangles són polígons no-regulars, tot i que els quadrats si ho són. Font: Pixabay.

Finalment quan els polígons que forma el tessel·lat no són regulars, llavors es tracta d'un tessel·lat irregular.

El tipus més comú de tessel·lat és el format per mosaics rectangulars i particularment quadrats. A la figura 1 tenim un bon exemple.

Història dels teselados

Des de fa milers d'anys s'ha fet servir la tessel·lació per cobrir pisos i parets dels palaus i temples de diferents cultures i religions.

Per exemple, la civilització sumèria que va florir cap al 3500 aC a sud de Mesopotàmia, entre els rius Eufrates i Tigris, van usar els teselados en la seva arquitectura.

Figura 2. teselados sumeris a la porta d'Istar. Font: Wikimedia Commons.

Els teselados també han despertat l'interès dels matemàtics de totes les èpoques: començant per Arquimedes al segle III abans de Crist, seguit per Johannes Kepler en 1619, Camille Jordan en 1880, fins a temps contemporanis amb Roger Penrose.

Penrose va crear una teselación no periòdica coneguda com teselación de Penrose. A quests són tot just alguns noms de científics que van aportar molt sobre la teselación.

teselados regulars

Els teselados regulars es fan amb un sol tipus de polígon regular. D'altra banda perquè el tessel·lat pugui considerar regular tot punt de l'àmbit ha de:

Pertànyer a l'interior de polígon

-O bé a l'aresta de dos polígons adjacents

-Per últim pot pertànyer a el vèrtex comú de al menys tres polígons.

Amb les restriccions anteriors es pot demostrar que només els triangles equilàters, els quadrats i els hexàgons poden formar un teselado regular.

Nomenclatura

Hi ha una nomenclatura per denotar els teselados que consisteix a enumerar en sentit de les agulles de l'rellotge i separat per un punt, el nombre de costats dels polígons que envolten cada node (o vèrtex) de l'tessel·lat, sempre començant amb el polígon de menor nombre de costats.

Aquesta nomenclatura s'aplica als teselados regulars i als semiregulars.

Exemple 1: teselado triangular

La figura 3 mostra un teselado regular triangular. Ha de notar-se que cada node de l'tessel·lat triangular és el vèrtex comú de sis triangles equilàters.

La forma d'denotar aquest tipus de tessel·lat és 3.3.3.3.3.3, que també es denota per 3 ⁶.

Figura 3. teselado regular triangular 3.3.3.3.3.3. Font: wikimedia commons

Exemple 2: teselado quadrat

La figura 4 mostra un teselado regular compost únicament per quadrats. Ha de notar-se que cada node de l'tessel·lat està envoltat per quatre quadrats congruents. La notació que s'aplica a aquesta mena de tessel·lat quadrat és: 4.4.4.4 o alternativament 4 ⁴

Figura 4. teselado quadrat 4.4.4.4. Font: wikimedia commons.

Exemple 3: teselado hexagonal

En un teselado hexagonal a cada node l'envolten 03:00 hexàgons regulars com s'aprecia a la figura 5. La nomenclatura per a un teselado hexagonal regular és 6.6.6 o alternativament 6 ³.

Figura 5. teselado hexagonal 6.6.6. Font: wikimedia commons.

teselados semiregulars

Els teselados semiregulars o teselados d'Arquímedes consta de dues o més tipus de polígons regulars. Cada node està envoltat pels tipus de polígons que componen a l'tessel·lat sempre en el mateix ordre i es manté la condició d'aresta completament compartida amb el veí.

Hi ha vuit teselaciones semiregulars:

1. 3.6.3.6 (tessel·lat tri-hexagonal)
2. 3.3.3.3.6 (tessel·lat hexagonal rom)
3. 3.3.3.4.4 (tessel·lat triangular elongat)
4. 3.3.4.3.4 (tessel·lat quadrat rom)
5. 3.4.6.4 (tessel·lat Rombi-tri-hexagonal)
6. 4.8.8 (tessel·lat quadrat truncat)
7. 3.12.12 (tessel·lat hexagonal truncat)
8. 4.6.12 (tessel·lat tri-hexagonal truncat)

Alguns exemples de teselados semiregulars es mostren a continuació.

Exemple 4: teselado tri-hexagonal

És el que està compost per triangles equilàters i hexàgons regulars en l'estructura 3.6.3.6, el que significa que un node de l'tessel·lat està envoltat (fins a completar una volta) per un triangle, un hexàgon, un triangle i un hexàgon. La figura 6 mostra un teselado d'aquest tipus.

Figura 6. El tessel·lat tri-hexagonal (3.6.3.6) és un exemple de tessel·lat semiregular. Font: Wikimedia Commons.

Exemple 5: teselado hexagonal rom

A l'igual que l'tessel·lat de l'exemple anterior, aquest també consta de triangles i hexàgons, però la seva distribució al voltant d'un node és 3.3.3.3.6. La figura 7 il·lustra clarament aquest tipus de tessel·lat.

Figura 7. El tessel·lat hexagonal rom consta d'un hexàgon envoltat de 16 triangles en la configuració 3.3.3.3.6. Font: Wikimedia Commons.

Exemple 6: tessel·lat Rombi-tri-hexagonal

És un teselado que consta de triangles, quadrats i hexàgons, en la configuració 3.4.6.4, el qual es mostra a la figura 8.

Figura 8. teselado semiregular compost per un triangle, un quadrat i un hexàgon en la configuració 3.4.6.4. Font: Wikimedia Commons.

teselados irregulars

Es denominen teselados irregulars a aquells que estan formats per polígons irregulars, o per polígons regulars però que no compleixen el criteri que un node és vèrtex d'almenys tres polígons.

exemple 7

La figura 9 mostra un exemple de tessel·lat irregular, en el qual tots els polígons són regulars i congruents. És irregular perquè un node no és vèrtex comú de al menys 3 quadrats ia més hi ha quadrats veïns que no comparteixen completament una aresta.

Figura 9. Tot i que totes les tessel·les són quadrats congruents, aquest és un clar exemple de tessel·lat irregular. Font: F. Zapata.

exemple 8

El paral tessel·la una superfície plana, però a menys que sigui un quadrat no pot formar un teselado regular.

Figura 10. Un tessel·lat format per paral·lelograms és irregular, ja que els seus mosaics són polígons no regulars. Font: F. Zapata.

exemple 9

Els hexàgons no-regulars amb simetria central teselan una superfície plana, tal com ho mostra la següent figura:

Figura 11. Els hexàgons amb simetria central tot i que no siguin regulars teselan el pla. Font: F. Zapata.

Exemple 10: tessel·lat del Caire

És una teselación molt interessant, composta per pentàgons amb costats d'igual longitud però amb angles desiguals, dos dels quals són rectes i els altres tres tenen 120 º cada un.

El seu nom prové que aquest tessel·lat es troba en el paviment d'alguns dels carrers del Caire a Egipte. La figura 12 mostra el tessel·lat del Caire.

Figura 12. tessel·lat del Caire. Font: Wikimedia Commons.

Exemple 11: tessel·lat A el-Andalus

El tessel·lat durant en algunes parts d'Andalusia i nord d'Àfrica es caracteritzen per la geometria i epigrafia, a més d'elements ornamentals com la vegetació.

El tessel·lat de palaus com el de l'Alhambra es componien d'enrajolats formats per peces de ceràmica de molts colors, amb múltiples (per no dir infinites) formes que desencadenaven en trames geomètriques.

Figura 13. teselado Palau de l'Alhambra. Tartaglia / Public domain

Exemple 12: tessel·lat en els videojocs

Conegut també com tesellation, és una de les novetats amb més auge en els videojocs. Es tracta de la creació de textures per simular el tessel·lat dels diferents escenaris que apareixen en el simulador.

Això és el clar reflex que aquestes recobertes segueixen evolucionant traspassant les fronteres de la realitat.

referències

1. Gaudeix les matemàtiques. Teselaciones. Recuperat de: disfrutalasmatematicas.com
2. Rubiños. Teselacions exemples resolts. Recuperat de: matematicasn.blogspot.com
3. Weisstein, Eric W. «Demiregular tessellation». Weisstein, Eric W, ed. MathWorld. Wolfram Research.
4. Wikipedia. Tessel·lat. Recuperat de: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Teselado regular. Recuperat de: es.wikipedia.com