REGLA DE SIMPSON: FÓRMULA, DEMOSTRACIÓ, EXEMPLES, EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2026

La regla de Simpson és un mètode per calcular, en forma aproximada, les integrals definides. Es fonamenta en dividir l'interval d'integració en un nombre parell de sub-intervals igualment espaiats.

Els valors extrems de dues sub-intervals consecutius defineixen tres punts, pels que s'ajusta una paràbola, l'equació és un polinomi de segon grau.

Figura 1. En el mètode de Simpson, l'interval d'integració es subdivideix en un nombre parell d'intervals d'igual ample. La funció s'aproxima per una paràbola en cada 2 sub-intervals i la integral s'aproxima per la suma de l'àrea sota les paràboles. Font: upv.es.

Després l'àrea sota la corba de la funció en els dos intervals consecutius s'aproxima per l'àrea de l'polinomi d'interpolació. Sumant la contribució a l'àrea sota la paràbola de tots els sub-intervals successius, es té el valor aproximat de la integral.

D'altra banda, com la integral d'una paràbola pot calcular algebraicament en forma exacta, llavors és possible trobar una fórmula analítica per al valor aproximat de la integral definida. És coneguda com la fórmula de Simpson.

L'error de l'resultat aproximat així obtingut disminueix en la mesura que el nombre de subdivisions n sigui més gran (en què n un nombre parell).

Més avall es donarà una expressió que permet estimar la cota superior de l'error de l'aproximació a la integral I, quan s'ha fet una partició de n subintervals regulars de l'interval total.

fórmula

L'interval d'integració se subdivideix en n subintervals amb n sent un enter parell. L'ample de cada subdivisió serà:

h = (b - a) / n

D'aquesta manera, sobre l'interval es fa la partició:

{X0, X1, X2,…, Xn-1, X}

Sent X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h,…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, X = X0 + nh = b.

La fórmula que permet calcular en forma aproximada la integral definida I de la funció contínua, i preferiblement suau, en l'interval és:

demostració

Per obtenir la fórmula de Simpson, en cada subinterval s'aproxima la funció f (X) per un polinomi p (X) de segon grau (paràbola) que passa pels tres punts:; i.

Després es calcula la integral de l'polinomi p (x) en què s'aproxima a la integral de la funció f (X) en aquest interval.

Figura 2. Gràfica per demostrar la fórmula de Simpson. Font: F. Zapata.

Coeficients de el polinomi d'interpolació

L'equació de la paràbola p (X) té la forma general: p (X) = AX ² + BX + C. Com la paràbola passa pels punts Q assenyalats en vermell (veure figura), llavors els coeficients A, B, C es determinen a partir de el següent sistema d'equacions:

A (-h) ² - B h + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

A (h) ² + B h + C = f (Xi + 2)

Es pot observar que el coeficient C està determinat. Per determinar el coeficient A sumem la primera i la tercera equació obtenint:

2 Als h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

Després es substitueix el valor de C i es buida A quedant:

A = / (2 h ²)

Per determinar el coeficient B es resta la tercera equació de la primera i es buida B obtenint:

B = = 2 h.

En resum, el polinomi de segon grau p (X) que passa pels punts Qi, Qi + 1 i Qi + 2 té coeficients:

A = / (2 h ²)

B = = 2 h

C = f (Xi + 1)

Càlcul de la integral aproximada en

Càlcul aproximat de la integral en

Com ja s'ha dit, sobre l'interval total d'integració es fa una partició {X0, X1, X2,…, Xn-1, X} amb pas h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n, on n és un nombre parell.

Error de l'aproximació

Cal notar que l'error disminueix amb la quarta potència de el nombre de subdivisions de l'interval. Per exemple si es passa de n subdivisions a 2n, llavors l'error disminueix en un factor 1/16.

La cota superior de l'error obtingut mitjançant l'aproximació de Simpson pot obtenir d'aquesta mateixa fórmula, substituint la derivada quarta pel màxim valor absolut de la derivada quarta en l'interval.

exemples resolts

- Exemple 1

Penseu en la funció la funció f (X) = 1 / (1 + X ²).

Trobar la integral definida de la funció f (X) en l'interval usant el mètode de Simpson amb dues subdivisions (n ​​= 2).

solució

Es pren n = 2. Els límits d'integració són a = -1 i b = -2, llavors la partició queda així:

X0 = -1; X1 = 0 i X2 = +1.

Per tant, la fórmula de Simpson adopta la següent manera:

Figura 3. Exemple d'integració numèrica mitjançant la regla de Simpson utilitzant programari. Font: F. Zapata.

referències

1. Casteleiro, JM 2002. Càlcul integral (Edició il·lustrada). Madrid: ESIC Editorial.
2. UPV. Mètode de Simpson. Universitat Politècnica de València. Recuperat de: youtube.com
3. Purcell, I. 2007. Càlcul Novena edició. Prentice Hall.
4. Wikipedia. Regla de Simpson. Recuperat de: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Interpolació polinòmica de Lagrange. Recuperat de: es.wikipedia.com