QUÈ SÓN ELS TRIANGLES OBLIQUANGLES? (AMB EXERCICIS) - MATEMÀTIQUES - 2026

Els triangles obliquangles són aquells triangles que no són rectangles. És a dir, els triangles tals que cap dels seus angles és un angle recte (la seva mida és 90º).

A el no tenir cap angle recte, llavors no es pot aplicar el teorema de Pitàgores a aquests triangles.

Per tant, per conèixer les dades en un triangle oblicuángulo és necessari utilitzar altres fórmules.

Les fórmules necessàries per resoldre un triangle oblicuángulo són les anomenades lleis dels sinus i cosinus, les quals seran descrites més endavant.

A més d'aquestes lleis, sempre pot utilitzar-se el fet que la suma dels angles interns d'un triangle és igual a 180º.

triangles obliquangles

Com es va dir a l'començament, un triangle oblicuángulo és un triangle tal que cap dels seus angles mesura 90º.

El problema de trobar les longituds dels costats d'un triangle oblicuángulo, així com de trobar les mesures dels seus angles, és anomenat «resolució de triangles obliquangles».

Un fet important quan es treballa amb triangles és que la suma dels tres angles interns d'un triangle és igual a 180º. Aquest és un resultat general, per tant per triangles obliquangles també es pot aplicar.

Lleis dels sinus i cosinus

Donat un triangle ABC amb costats de longitud «a», «b» i «c»:

- La llei dels pits estableix que a / sense (A) = b / sense (B) = c / sense (C), on A, B i C són els angles oposats a «a», «b» i «c »respectivament.

- La llei dels cosinus estableix que: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Equivalentment es poden utilitzar les següents fórmules:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) o a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

Utilitzant aquestes fórmules poden calcular les dades d'un triangle oblicuángulo.

exercicis

A continuació es plantegen alguns exercicis on s'han de trobar les dades que faltaven dels triangles donats, a partir de certes dades subministrades.

primer Exercici

Donat un triangle ABC tal que A = 45º, B = 60º ja = 12cm, calculeu les altres dades de l'triangle.

solució

Utilitzant que la suma dels angles interns d'un triangle és igual a 180º s'ha de

C = 180º-45º-60º = 75º.

Ja són coneguts els tres angles. A continuació es procedeix a utilitzar la llei dels pits per calcular els dos costats que falten.

Les equacions que es plantegen són 12 / sense (45º) = b / sense (60º) = c / sense (75è).

De la primera igualtat es pot aclarir «b» i obtenir que

b = 12 * sense (60º) / sense (45º) = 6√6 ≈ 14.696cm.

També es pot aclarir «c» i obtenir que

c = 12 * sense (75è) / sense (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16.392cm.

segon Exercici

Donat el triangle ABC tal que A = 60º, C = 75º b = 10cm, calculeu les altres dades de l'triangle.

solució

A l'igual que en l'exercici anterior s'ha de B = 180º-60º-75º = 45º. A més, utilitzant la llei dels pits s'ha de a / sense (60º) = 10 / sense (45º) = c / sense (75º), d'on s'obté que a = 10 * sense (60º) / sense (45º) = 5√6 ≈ 12.247 cm ic = 10 * sense (75è) / sense (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13.660 cm.

tercer Exercici

Donat el triangle ABC tal que a = 10cm, b = 15 cm i C = 80º, calculeu les altres dades de l'triangle.

solució

En aquest exercici només és conegut un angle, per tant no es pot començar com es va fer en els dos exercicis anteriors. A més, no es pot aplicar la llei dels pits perquè cap equació podria resoldre.

Per tant, es procedeix a aplicar la llei dels cosinus. Es té llavors que

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325-300 * 0.173 ≈ 272.905 cm, de manera que c ≈ 16.51 cm. Ara, coneixent i als 3 costats, s'utilitza la llei dels pits i s'obté que

10 / sense (A) = 15 / sense (B) = 16.51cm / sense (80º).

D'aquí, a l'aclarir B resulta sense (B) = 15 * sense (80º) / 16.51 ≈ 0894, el que implica que B ≈ 63.38º.

Ara, es pot obtenir que A = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

quart Exercici

Els costats d'un triangle oblicuángulo són a = 5 cm, b = 3 cm ic = 7 cm. Calculeu els angles de el triangle.

solució

Novament, no es pot aplicar la llei dels pits directament ja que cap equació serviria per obtenir el valor dels angles.

Utilitzant la llei de l'cosinus s'ha de c² = a² + b² - 2ab cos (C), d'on a l'aclarir s'ha de cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15 / 30 = -1/2 i per tant C = 120º.

Ara si es pot aplicar la llei dels pits i així obtenir 5 / sense (A) = 3 / sense (B) = 7 / sense (120 º), d'on es pot aclarir B i obtenir que sense (B) = 3 * sense (120 º) / 7 = 0,371, de manera que B = 21.79º.

Finalment es calcula l'últim angle fent servir que A = 180º-120º-21.79º = 38.21º.

referències

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometria (Reprint ed.). Progrés.
2. Leake, D. (2006). Triangles (illustrated ed.). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, CD (2006). Precàlcul. Pearson Educació.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometries. Tecnologica de CR.
5. Sullivan, M. (1997). Precàlcul. Pearson Educació.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometria i Geometria Analítica. Pearson Educació.