LLEIS DELS EXPONENTS (AMB EXEMPLES I EXERCICIS RESOLTS) - MATEMÀTIQUES - 2025

Les lleis dels exponents són les que s'apliquen a aquell nombre que indica quantes vegades ha de ser multiplicat per si mateix un nombre base. Els exponents també són coneguts com a potències. La potenciació és una operació matemàtica formada per una base (a), l'exponent (m) i la potència (b), que és el resultat de l'operació.

Els exponents són usats generalment quan són utilitzades quantitats molt grans, a causa que aquests no són més que abreviacions que representen la multiplicació d'aquest mateix número una quantitat determinada de vegades. Els exponents poden ser tant positius com negatius.

Explicació de les lleis dels exponents

Com es va dir anteriorment, els exponents són una forma abreujada que representa la multiplicació de nombres per si mateixos diverses vegades, on l'exponent només es relaciona amb el nombre de l'esquerra. Per exemple:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

En aquest cas el nombre 2 és la base de la potència, que serà multiplicat 3 vegades com ho indica l'exponent, situat a la cantonada superior dreta de la base. Hi ha diferents formes de llegir l'expressió: 2 elevat a la 3 o també 2 elevat a la galleda.

Els exponents també indiquen el nombre de vegades que poden ser dividits, i per diferenciar aquesta operació de la multiplicació l'exponent porta el signe menys (-) davant de si (és negatiu), el que significa que l'exponent està en el denominador d'una fracció. Per exemple:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Això no s'ha de confondre amb el cas en què la base és negativa, ja que dependrà de si l'exponent és parell o imparell per determinar si la potència serà positiva o negativa. Així s'ha de:

- Si l'exponent és parell, la potència serà positiva. Per exemple:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49.

- Si l'exponent és imparell, la potència serà negativa. Per exemple:

(- 2) ^maig = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Hi ha un cas especial en el qual si l'exponent és igual a 0 es té que la potència és igual a 1. També hi ha la possibilitat que la base sigui 0; en aquest cas, depenent de l'exponenete, la potència serà indeterminada o no.

Per fer operacions matemàtiques amb els exponents cal seguir diverses regles o normes que fan més simple trobar la solució d'aquestes operacions.

Primera llei: potència d'exponent igual a 1

Quan l'exponent és 1, el resultat serà el mateix valor de la base: a ¹ = a.

exemples

9 ¹ = 9.

22 ¹ = 22.

895 ¹ = 895.

Segona llei: potència d'exponent igual a 0

Quan l'exponent és 0, si la base és diferent de zero, el resultat serà: a ⁰ = 1.

exemples

1 ⁰ = 1.

323 ⁰ = 1.

1095 ⁰ = 1.

Tercera llei: exponent negatiu

Com el Exposa't és negatiu, el resultat serà una fracció, on la potència serà el denominador. Per exemple, si m és positiu, llavors a ^-m = 1 / a ^m.

exemples

- 3 ^-1 = 1/3.

- 6 ^-2 = 1/6 ² = 1/36.

- 8 ^-3 = 1/8 ³ = 1/512.

Quarta llei: multiplicació de potències amb base igual

Per multiplicar potències on les bases són iguals i diferents de 0, la base es manté i els exponents són sumats: a ^m _* a ⁿ = a ^{m + n}.

exemples

- 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

Cinquena llei: divisió de potències amb base igual

Per dividir potències en les quals les bases són iguals i diferents de 0, es manté la base i els exponents es resten com segueix: a ^m / a ⁿ = a ^m-n.

exemples

- 9 ² / setembre ¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9 ¹.

- 6 ¹⁵ /6 ¹⁰ = 6 ^{(15 - 10)} = 6 ⁵.

- 49 ¹² /49 ^juny = 49 ^{(12 - 6)} = 49 ⁶.

Sisena llei: multiplicació de potències amb base diferent

En aquesta llei es té el contrari al que expressa la quarta; és a dir, si es tenen bases diferents però amb iguals exponents, es multipliquen les bases i es manté l'exponent: a ^m _* b ^m = (a _* b) ^m.

exemples

- 10 ^febrer _* 20 ² = (10 _* 20) ² = 200 ².

- 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹.

Una altra forma de representar aquesta llei és quan una multiplicació es troba elevada a una potència. Així, l'exponent va pertànyer a cadascun dels termes: (a _* b) ^m = a ^m _* b ^m.

exemples

- (5 _* 8) ^abril = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴.

- (23 * 7) ^juny = 23 ⁶ _* 7 ^juny = 161 ⁶.

Setena llei: divisió de potències amb base diferent

Si es tenen bases diferents però amb iguals exponents es divideixen les bases i es manté l'exponent: a ^m / b ^m = (a / b) ^m.

exemples

- 30 ^març / 2 ³ = (30/2) ³ = 15 ³.

- 440 ⁴ /80 ⁴ = (440/80) ⁴ = 5,5 ⁴.

De la mateixa manera, quan una divisió es troba elevada a una potència, l'exponent va pertànyer a cadascun dels termes: (a / b) ^m = a ^m / b ^m.

exemples

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ /4 ⁸ = 2 ⁸.

- (25/5) ² = 25 ² /5 ² = 5 ².

Existeix el cas en què l'exponent és negatiu. Llavors, perquè sigui positiu el valor de l'numerador s'inverteix amb el de l'denominador, de la següent manera:

- (a / b) ^-n = (b / a) ⁿ = b ⁿ / a ⁿ.

- (4/5) ^-9 = (5/4) ^setembre = 5 ⁹ /4 ⁴.

Vuitena llei: potència d'una potència

Quan es té una potència que aquesta elevada a una altra potència, és a dir, dos exponents alhora-, la base es manté i els exponents es multipliquen: (a ^m) ⁿ = a ^{m * n}.

exemples

- (8 ^març) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶.

- (13 ^setembre) ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷.

- (238 ¹⁰) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰.

Novena llei: exponent fraccionari

Si la potència té com a exponent a una fracció, aquesta és resolta a l'transformar-la en una arrel n-èsima, on el numerador es manté com a exponent i el denominador representa l'índex de l'arrel:

exemple

exercicis resolts

exercici 1

Calcular les operacions entre les potències que tenen diferents bases:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ².

solució

Aplicant les regles dels exponents, en el numerador es multipliquen les bases i es manté l'exponent, així:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ^abril / 8 ² = 8 ⁴ /8 ²

Ara, com es tenen bases iguals però amb exponents diferents, es manté la base i es resten els exponents:

8 ⁴ /8 ² = 8 ^{(4 - 2)} = 8 ²

exercici 2

Calcular les operacions entre les potències elevades a una altra potència:

(3 ²) ^març _* (2 _* 6 ⁵) ^-2 _* (2 ²) ^març

solució

Aplicant les lleis, s'ha de:

(3 ²) ^març _* (2 _* 6 ⁵) ^-2 _* (2 ²) ^març

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ^juny

= 6 ⁶

= 46.656

referències

1. Aponte, G. (1998). Fonaments De Matemàtiques Basica. Pearson Educació.
2. Corbalán, F. (1997). La matemàtica aplicada a la vida quotidiana.
3. Jiménez, JR (2009). Matemàtiques 1 SET.
4. Max Peters, WL (1972). Àlgebra i Trigonometria.
5. Rees, PK (1986). Reverte.