ESDEVENIMENTS COMPLEMENTARIS: EN QUÈ CONSISTEIXEN I EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2026

Els esdeveniments complementaris es defineixen com tot grup d'esdeveniments mútuament excloents entre si, on la unió d'ells és capaç de cobrir completament l'espai mostral o casos possibles d'una experimentació (són exhaustius).

La seva intersecció dóna com a resultat el conjunt buit (∅). La suma de les probabilitats de dos esdeveniments complementaris és igual a 1. És a dir que 2 esdeveniments amb aquesta característica, abasten completament la possibilitat de successos d'un experiment.

Font: pexels.com

En què consisteixen els esdeveniments complementaris?

Un cas genèric molt útil per comprendre aquest tipus d'esdeveniments és llançar un dau:

A l'definir l'espai mostral es nomenen tots els possibles casos que l'experiment ofereix. A aquest conjunt se li coneix com a univers.

Espai mostral (S):

S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Les opcions no estipulades en l'espai mostral, no formen part de les possibilitats de l'experiment. Per exemple {que surti el número set} Té una probabilitat de zero.

Segons l'objectiu de l'experimentació, es defineixen conjunts i subconjunts de ser necessari. La notació de conjunt a utilitzar també es determina segons l'objectiu o paràmetre a estudiar:

A: {Sortiu un nombre parell} = {2, 4, 6}

B: {Sortiu un nombre imparell} = {1, 3, 5}

En aquest cas A i B són Esdeveniments Complementaris. A causa de que els dos conjunts són mútuament excloents (No pot sortir un nombre parell que sigui imparell al seu torn) i la unió d'aquests conjunts abasta la totalitat de l'espai mostral.

Altres sub conjunts possibles en l'exemple anterior són:

C: {Sortiu un nombre primer} = {2, 3, 5}

D: {x / x Ԑ N ᴧ x ˃ 3} = {4, 5, 6}

Els conjunts A, B i C estan escrits en notació descriptiva i Analítica respectivament. Per al conjunt D es va utilitzar notació algebraica, descrivint-després els possibles resultats corresponents a l'experiment en notació Analítica.

S'observa en el primer exemple que a l'ésser A i B esdeveniments complementaris

A: {Sortiu un nombre parell} = {2, 4, 6}

B: {Sortiu un nombre imparell} = {1, 3, 5}

Es compleixen els següents axiomes:

1. AUB = S; La unió de dos esdeveniments complementaris és igual a l'espai mostral
2. A ∩B = ∅ ; La intersecció de dos esdeveniments complementaris és igual a el conjunt buit
3. A '= B ᴧ B' = A; Cada subconjunt és igual a el complement del seu homòleg
4. A '∩ A = B' ∩ B = ∅; Intersectar un conjunt amb el seu complement és igual a buit
5. A 'UA = B' UB = S; Unir un conjunt amb el seu complement és igual a l'espai mostral

En l'estadística i estudis probabilístics, els esdeveniments complementaris formen part de la teoria de conjunt, sent molt comuns entre les operacions que en aquesta àrea es realitzen.

Per conèixer més a fons els esdeveniments complementaris, cal entendre certs termes que ajuden a definir-los conceptualment.

Què són els esdeveniments?

Són possibilitats i successos resultants d'una experimentació, capaços d'oferir resultats en cadascuna de les seves iteracions. Els esdeveniments generen les dades a registrar com a elements de conjunts i sub conjunts, les tendències en aquestes dades són motiu d'estudi per a la probabilitat.

Són exemples d'esdeveniments:

• La moneda va assenyalar cara
• El partit va resultar en empat
• El químic va reaccionar a 1.73 segons
• La velocitat en el punt màxim va ser de 30 m / s
• El dau marc el número 4

Què és un complement?

Pel que fa a la teoria de conjunts. Un Complement es refereix a la porció d'espai mostral, que necessita addicionar a un conjunt perquè aquest abasti el seu univers. És tot el que no forma part del conjunt.

Una forma molt coneguda per denotar a l'complement en la teoria de conjunts és:

A 'Complement d'A

Diagrama de Venn

Font: pixabay.com

És un esquema gràfic - analític de contingut, molt utilitzat en les operacions matemàtiques que involucren conjunts, sub-conjunts i elements. Cada conjunt és representat per una lletra majúscula i una figura ovalada (aquesta funció no és obligatòria dins del seu ús) que conté a tots i cadascun dels seus elements.

Els esdeveniments complementaris s'aprecien directament en els diagrames de Venn, ja que el seu mètode gràfic permet identificar els complements corresponents a cada conjunt.

Simplement visualitzar completament l'entorn d'un conjunt, ometent la seva frontera i estructura interna, permet donar una definició a l'complement del conjunt estudiat.

Exemples d'esdeveniments complementaris

Són exemples de esdeveniments complementaris l'èxit i la derrota a un succés on no pot existir la igualtat (Un joc de beisbol).

Les variables booleanes són esdeveniments complementaris: Veritable o fals, de la mateixa manera correcte o incorrecte, tancat o obert, encès o apagat.

Exercicis d'esdeveniments complementaris

exercici 1

Sigui S el conjunt univers definit per tots els nombres naturals menors o iguals a deu.

S: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Es defineixen els següents subconjunts de S

H: {Nombres naturals menors a quatre} = {0, 1, 2, 3}

J: {Múltiples de tres} = {3, 6, 9}

K: {Múltiples de cinc} = {5}

L: {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}

M: {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}

N: {Nombres naturals majors o iguals a quatre} = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

determinar:

Quants esdeveniments complementaris es poden formar a l'relacionar parells de subconjunts de S ?

Segons la definició de esdeveniments complementaris s'identifiquen els parells que compleixen els requeriments (Mútuament excloents i cobrir l'espai mostral a l'unir-se). Són esdeveniments complementaris els següents parells de subconjunts :

• H i N
• J i M
• L i K

exercici 2

Demostreu que: (M ∩ K) '= L

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {5} = {5}; La intersecció entre conjunts llança com a resultat els elements comuns entre els dos conjunts operants. D'aquesta manera el maig és l'únic element comú entre M i K.

{5} '= {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} = L; A causa de que L i K són complementaris, es compleix el tercer axioma descrit anteriorment (Cada subconjunt és igual a el complement del seu homòleg)

exercici 3

Definiu: '

J ∩ H = {3}; De manera homòloga a el primer pas de l'exercici anterior.

(J ∩ H) UN = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; Aquestes operacions es coneixen com combinades i solen tractar-se amb un diagrama de Venn.

' = {0, 1, 2}; Queda definit el complement de l'operació combinada.

exercici 4

Demostrar que: { ∩ ∩} '= ∅

L'operació composta descrita dins de les claus, es refereix a les interseccions entre les unions dels esdeveniments complementaris. D'aquesta manera es procedeix a verificar el primer axioma (La unió de dos esdeveniments complementaris és igual a l'espai mostral).

∩ ∩ = S ∩ S ∩ S = S; La unió i intersecció d'un conjunt amb si mateix genera el mateix conjunt.

després; S '= ∅ Per definició de conjunts.

exercici 5

Definiu 4 interseccions entre els subconjunts, els resultats siguin diferents a el conjunt buit (∅).

• M ∩ N

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {4, 5, 7, 8, 10}

• L ∩ H

{0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {0, 1, 2, 3} = {0, 1, 2, 3}

• J ∩ N

{3, 6, 9} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {6, 9}

referències

1. El rol dels Statistical METHODS IN COMPUTER SCIENCE AND Bioinformatics. Irina Arhipova. Letònia University of Agriculture, Latvia.
2. Statistics and the Evaluation of Evidence for Forensic Scientists. Second Edition. Colin GG Aitken. School of Mathematics. The University of Edinburgh, UK
3. BASIC Probability THEORY, Robert B. Ash. Department of Mathematics. University of Illinois
4. Elementary STATISTICS. Tenth Edition. Mario F. Triola. Boston Sant.
5. Mathematics and Engineering in Computer Science. Christopher J. Van Wyk. Institute for Computer Sciences and Technology. National Bureau of Standards. Washington, DC 20234
6. Mathematics for Computer Science. Eric Lehman. Google Inc.

   F Thomson Leighton Department of Mathematics and the Computer Science and AI Laboratory, Massachusetts Institute of Technology; Akamai Technologies