DIVISIÓ SINTÈTICA: MÈTODE I EXERCICIS RESOLTS - MATEMÀTIQUES - 2026

La divisió sintètica és una forma senzilla de dividir un polinomi P (x) qualsevol per un de la forma d (x) = x - c. Per exemple, el polinomi P (x) = (x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1) pot representar-se com la multiplicació dels dos polinomis més senzills (x + 1) i (x ⁴ + 2x ³).

És una eina de gran utilitat ja que, a més de permetre'ns dividir polinomis, també permet avaluar un polinomi P (x) en qualsevol nombre c, la qual cosa al seu torn ens indica de manera precisa si aquest número és un zero o no d'el polinomi.

Gràcies a l'algoritme de la divisió, sabem que si tenim dos polinomis P (x) d (x) no constants, hi ha polinomis q (x) ir (x) únics tals que es compleix que P (x) = q (x) d (x) + r (x), on r (x) és zero o és de grau menor que q (x). Aquests polinomis són coneguts com a quocient i residu o resta respectivament.

En les ocasions en les quals el polinomi d (x) és de la forma x c, la divisió sintètica ens dóna una forma curta de trobar qui són q (x) ir (x).

Mètode de divisió sintètica

Sigui P (x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 +… + a ₁ x + a ₀ el polinomi que volem dividir d (x) = xc el divisor. Per dividir pel mètode de divisió sintètica procedim de la següent manera:

1- Escrivim els coeficients de P (x) a la primera fila. Si alguna potència de X no apareix, col·loquem zero com el seu coeficient.

2- A la segona fila, a l'esquerra a _n col·loquem c, i tracem línies de divisió tal com mostra a la següent figura:

3- Vam baixar el coeficient líder fins a la tercera fila.

En aquesta expressió b _n-1 = a _n

4- Multipliquem c pel coeficient líder b _n-1 i el resultat el vam escriure a la segona fila, però una columna a la dreta.

5- Sumem la columna on escrivim el resultat anterior i el resultat el col·loquem sota d'aquesta suma; és a dir, en la mateixa columna, tercera fila.

A l'sumar, tenim com a resultat a _n-1 + c * b _n-1, a el qual per comoditat anomenarem b _n-2

6- Multipliquem c pel resultat anterior i escrivim el resultat a la seva dreta en la segona fila.

7- Repetim el pas 5 i 6 fins arribar a el coeficient a ₀.

8- Escrivim la resposta; és a dir, el quocient i el residu. Com estem efectuant la divisió d'un polinomi de grau n entre un polinomi de grau 1, tenim que el quocient seria de grau n-1.

Els coeficients de el polinomi quocient seran els números de la tercera fila excepte l'últim, el qual serà el polinomi residu o residu de la divisió.

exercicis resolts

- Exemple 1

Realitzar la següent divisió pel mètode de divisió sintètica:

(x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1): (x + 1).

solució

Primer vam escriure els coeficients de l'dividend de la següent manera:

Després escrivim c a la banda esquerra, a la segona fila, juntament amb les línies de divisió. En aquest exemple c = -1.

Vam baixar el coeficient líder (en aquest cas b _n-1 = 1) i ho multipliquem per -1:

Vam escriure el seu resultat a la dreta a la segona fila, com es mostra a continuació:

Sumem els números de la segona columna:

Multipliquem 2 per -1 i escrivim el resultat a la tercera columna, segona fila:

Sumem a la tercera columna:

Procedim de manera anàloga fins arribar a l'última columna:

Així, tenim que l'últim número obtingut és la resta de la divisió, i els números restants són els coeficients de l'polinomi quocient. Això s'escriu de la següent manera:

Si volem verificar que el resultat és correcte, només cal verificar que es compleix la següent equació:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Així podem comprovar que el resultat obtingut és correcte.

- Exemple 2

Realitzar la següent divisió de polinomis pel mètode de divisió sintètica

(7x ³ -x + 2): (x + 2)

solució

En aquest cas tenim que el terme x ² no apareix, per la qual cosa escriurem a l'0 com el seu coeficient. Així, el polinomi ens quedaria com 7x ³ + 0x ² -x + 2.

Vam escriure els seus coeficients en fila, és a dir:

Escrivim el valor de C = -2 a la banda esquerra en la segona fila i tracem les línies de divisió.

Vam baixar el coeficient líder b _n-1 = 7 i ho multipliquem per -2, escrivint el seu resultat en la segona fila a la dreta.

Sumem i procedim com es va explicar prèviament, fins arribar a l'últim terme:

En aquest cas, la resta és r (x) = - 52 i el quocient obtingut és q (x) = 7x ² -14x + 27.

- Exemple 3

Una altra forma d'utilitzar la divisió sintètica és la següent: suposem que tenim un polinomi P (x) de grau ni volem saber quin és valor a l'avaluar-lo en x = c.

Per l'algoritme de la divisió hem de podem escriure el polinomi P (x) de la següent manera:

En aquesta expressió q (x) ir (x) són el quocient i la resta, respectivament. Ara, si d (x) = x c, a l'avaluar en c en el polinomi ens resulta el següent:

Per això només queda trobar ar (x), i això ho podem fer gràcies a la divisió sintètica.

Per exemple, tenim el polinomi P (x) = x ⁷ -9x ⁶ + 19x ⁵ + 12x ⁴ -3x ³ + 19x ² -37x-37 i volem saber quin és el seu valor a l'avaluar-lo en x = 5. Per a això vam realitzar la divisió entre P (x) d (x) = x -5 pel mètode de divisió sintètica:

Un cop feta les operacions, sabem que podem escriure P (x) de la següent manera:

P (x) = (x ⁶ -4x ⁵ -x ⁴ + 7x ³ + 32x ² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Per tant, a l'avaluar-hem de:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Com podem veure, és possible fer servir la divisió sintètica per trobar el valor d'un polinomi a l'avaluar-lo en c en comptes de simplement substituir c per x.

Si tractéssim d'avaluar P (5) de la manera tradicional, ens veuríem en la necessitat de realitzar alguns càlculs que solen tornar-se tediosos.

- Exemple 4

L'algoritme de la divisió per polinomis també es compleix per a polinomis amb coeficients complexos i, com a conseqüència, tenim que el mètode de divisió sintètica també funciona per a aquests polinomis. A continuació veurem un exemple.

Farem servir el mètode de divisió sintètica per mostrar que z = 1 + 2i és un zero de l'polinomi P (x) = x ³ + (1 + i) x ² - (1 + 2i) x + (15 + 5i); és a dir, que el residu de la divisió P (x) entre d (x) = x - z és igual a zero.

Procedim com abans: a la primera fila escrivim els coeficients de P (x), després en la segona escrivim zi tracem les línies de divisió.

Realitzem la divisió com abans; això és:

Podem observar que el residu és zero; per tant, vam concloure que, z = 1 + 2i és un zero de P (x).

referències

1. Baldor Aureli. Algebra. Grup Editorial Pàtria.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precàlcul: Gràfic, numèric, algebraic 7dt Ed. Pearson Educació.
3. Flemming W & Varserg D. Àlgebra i Trigonometria amb Geometria Analítica. Prentice Hall
4. Michael Sullivan. Precàlcul 4t Ed. Pearson Educació.
5. Vermell. Armando O. Àlgebra 1 6è Ed. L'Ateneu.