DERIVADES SUCCESSIVES (AMB EXERCICIS RESOLTS) - MATEMÀTIQUES - 2025

Les derivades successives són les derivades d'una funció després de la segona derivada. El procés per calcular les derivades successives és el següent: es té una funció f, la qual podem derivar i obtenir així la funció derivada f '. A aquesta derivada de f podem tornar a derivar-la, obtenint (f ')'.

Aquesta nova funció s'anomena segona derivada; totes les derivades calculades a partir de la segona són successives; aquestes, anomenades també d'ordre superior, posseeixen grans aplicacions, com donar informació sobre el traç de la gràfica d'una funció, la prova de la segona derivada per extrems relatius i la determinació de sèries infinites.

definició

Usant la notació de Leibniz, tenim que la derivada d'una funció «i» pel que fa a «x» és di / dx. Per expressar a la segona derivada de «i» usant la notació de Leibniz, escrivim de la següent manera:

En general, podem expressar les derivades successives com segueix amb la notació de Leibniz, on n representa l'ordre de la derivada.

Altres notacions usades són les següents:

Alguns exemples on podem veure les diferents notacions són:

exemple 1

Obtenir totes les derivades de la funció f definida per:

Usant les tècniques de derivació usuals, tenim que la derivada de f és:

Repetint el procés podem obtenir la segona derivada, la tercera derivada i així successivament.

Cal notar que la quarta derivada és zero i la derivada de zero és zero, per la qual cosa hem de:

exemple 2

Calcular la quarta derivada de la següent funció:

Derivant la funció donada tenim com a resultat:

Velocitat i acceleració

Una de les motivacions que van portar a la descoberta de la derivada va ser la recerca de la definició de la velocitat instantània. La definició formal és la següent:

Sigui y = f (t) una funció l'gràfica descriu la trajectòria d'una partícula en un instant t, llavors la seva velocitat en un instant t ve donada per:

Un cop obtinguda la velocitat d'una partícula, podem calcular acceleració instantània, la qual està definida de la següent manera:

L'acceleració instantània d'una partícula amb una trajectòria ve donada per i = f (t) és:

exemple 1

Una partícula es mou sobre una recta segons la funció posició:

On «i» es mesura en metres i «t» en segons.

- ¿En quin instant la seva velocitat és 0?

- ¿En quin instant la seva acceleració és 0?

A l'derivar la funció posició «i» hem de la seva velocitat i acceleració vénen donades respectivament per:

Per poder respondre la primera pregunta, només cal determinar quan es fa zero la funció v; això és:

Procedim amb la següent pregunta de manera anàloga:

exemple 2

Una partícula es desplaça sobre una recta d'acord amb la següent equació de moviment:

Determinar «t, i» i «v» quan a = 0.

Sabent que la velocitat i l'acceleració vénen donades per

Procedim a derivar i obtenim:

Fent a = 0, tenim:

D'on podem deduir que el valor de t perquè a sigui igual a zero és de t = 1.

Després, avaluant en t = 1 la funció posició i la funció velocitat, hem de:

aplicacions

derivació mplícita

Les derivades successives també es poden obtenir per derivació implícita.

exemple

Atès la següent el·lipse, trobar «i»:

Derivant implícitament respecte a x, tenim:

Després, tornant a derivar implícitament respecte a x, ens dóna:

Finalment, tenim:

extrems relatius

Un altre ús que podem donar-li a les derivades de segon ordre és en el càlcul d'extrems relatius d'una funció.

El criteri de la primera derivada per extrems locals ens diu que, si tenim una funció f contínua en un interval (a, b) i hi ha un c que pertany a l'interval tal que f'se anul·la al c (és a dir, que c és un punt crític), pot ocórrer un d'aquests tres casos:

- Si F '(x)> 0 per a qualsevol x pertanyent a (a, c) yf' (x) <0 per x pertanyent a (c, b), llavors f (c) és un màxim local.

- Si F '(x) <0 per a qualsevol x pertanyent a (a, c) yf' (x)> 0 per x pertanyent a (c, b), llavors f (c) és un mínim local.

- Si F '(x) té igual signe en (a, c) i en (c, b), implica que f (c) no és un extrem local.

Usant el criteri de la segona derivada podem saber si un nombre crític d'una funció és un màxim o un mínim local, sense haver de veure quin és el signe de la funció en els intervals abans esmentats.

El criteri de la segona deriva ens diu que si F '(c) = 0 i que f'' (x) és contínua en (a, b), passa que si f'' (c)> 0 llavors f (c) és un mínim local i si f'' (c) <0 llavors f (c) és un màxim local.

Si f'' (c) = 0, no podem concloure res.

exemple

Donada la funció f (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ², trobar els màxims i mínims relatius de f aplicant el criteri de la segona derivada.

Primer calculem F '(x) yf'' (x) i tenim:

F '(x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f'' (x) = 12x ² + 8x - 8

Ara, F '(x) = 0 si, i només si 4x (x + 2) (x - 1) = 0, i això passa quan x = 0, x = 1 o x = - 2.

Per determinar si els números crítics obtinguts són extrems relatius n'hi ha prou amb avaluar en f'' i així observar el seu signe.

f'' (0) = - 8, per la qual cosa f (0) és un màxim local.

f'' (1) = 12, de manera que f (1) és un mínim local.

f'' (- 2) = 24, de manera que f (- 2) és un mínim local.

Sèrie de Taylor

Sigui f una funció definida com segueix:

Aquesta funció té un radi de convergència R> 0 i té derivades de tots els ordres en (-R, R). Les derivades successives de f ens donen:

Prenent x = 0, podem obtenir els valors de c _n en funció de les seves derivades com segueix:

Si prenem an = 0 com la funció f (és a dir, f ^ 0 = f), llavors podem reescriure la funció així:

Ara considerem la funció com una sèrie de potències en x = a:

Si fem una anàlisi anàleg a l'anterior, hauríem d'podem escriure la funció f com:

Aquestes sèries es coneixen com sèries de Taylor de f en a. Quan a = 0 tenim el cas particular que es diu sèrie de Maclaurin. Aquest tipus de sèries és de gran importància matemàtica sobretot en l'anàlisi numèrica, ja que gràcies a aquestes podem definir funcions en els ordinadors com ara e ^x, sin (x) i cos (x).

exemple

Obtenir la sèrie de Maclaurin per i ^x.

Cal notar que si f (x) = i ^x, llavors f ⁽ⁿ⁾ (x) = i ^x i f ⁽ⁿ⁾ (0) = 1, per la qual cosa la seva sèrie de Maclaurin és:

referències

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, I. (sf). Càlcul 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). EL CÀLCUL amb Geometria Analítica. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, ES (2007). Càlcul. Mèxic: Pearson Educació.
4. Saenz, J. (2005). Càlcul Diferencial. Hipotenusa.
5. Saenz, J. (sf). Càlcul Integral. Hipotenusa.