CORDA (GEOMETRIA): LONGITUD, TEOREMA I EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2026

Una corda, en geometria plana, és el segment de recta que uneix dos punts d'una corba. Es diu que la recta que conté a aquest segment és una recta secant a la corba. Sovint es tracta d'una circumferència, però certament es poden traçar cordes en moltes altres corbes, com ara el·lipses i paràboles.

A la figura 1 a l'esquerra hi ha un revolt, a la qual pertanyen els punts A i B. La corda entre A i B és el segment de color verd. A la dreta hi una circumferència i una de les seves cordes, ja que és possible traçar infinites.

Figura 1. A l'esquerra la corda d'una corba arbitrària ia la dreta la corda d'una circumferència. Font: Wikimedia Commons.

A la circumferència és particularment interessant el seu diàmetre, a el qual es coneix també com corda més gran. Es tracta d'una corda que sempre conté a centre de la circumferència i mesura el doble de l'ràdio.

A la següent figura apareixen representats el radi, el diàmetre, una corda ia més l'arc d'una circumferència. Identificar correctament cada un és important a l'hora de resoldre problemes.

Figura 2. Elements de la circumferència. Font: Wikimedia Commons.

Longitud de la corda d'una circumferència

Podem calcular la longitud de la corda en una circumferència partint de les figures 3a i 3b. Cal observar que es forma sempre un triangle amb dos costats iguals (isòsceles): els segments OA i OB, que mesuren R, el radi de la circumferència. El tercer costat de el triangle és el segment AB, anomenat C, que és precisament la longitud de la corda.

Cal traçar una recta perpendicular a la corda C per bisectar a l'angle θ que hi ha entre els dos radis i el vèrtex és el centre O de la circumferència. Aquest és un angle central -perquè el seu vèrtex és el centre- i la recta bisectriu és també una secant a la circumferència.

Immediatament es formen dos triangles rectangles, la hipotenusa mesura R. Ja que la bisectriu, i amb ella el diàmetre, divideix en dues parts iguals a la corda, resulta que un dels catets és la meitat de C, tal com s'indica en la figura 3b.

De la definició de el si d'un angle:

sin (θ / 2) = catet oposat / hipotenusa = (C / 2) / R

Per tant:

sin (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

Figura 3. El triangle format per dos radis i una corda de circumferència és isòsceles (figura 3a), ja que té dos costats iguals. La bisectriu el divideix en dos triangles rectangles (figura 3b). Font: elaborat per F. Zapata.

Teorema de les cordes

El teorema de les cordes diu així:

A la següent figura es mostren dues cordes de la mateixa circumferència: AB i CD, les quals s'intersecten en el punt P. A la corda AB es defineixen els segments AP i PB, mentre que a la corda CD es defineixen CP i PD. Llavors, segons el teorema:

AP. PB = CP. PD

Figura 4. El teorema de cordes d'una circumferència. Font: F. Zapata.

Exercicis resolts de cordes

- Exercici 1

Una circumferència té una corda de 48 cm, la qual dista 7 cm de centre. Calcular l'àrea d'el cercle i el perímetre de la circumferència.

solució

Per calcular l'àrea d'el cercle A, prou conèixer el radi de la circumferència a l'quadrat, ja que es compleix:

A = π.R ²

Ara bé, la figura que es forma amb les dades subministrades és un triangle rectangle, els catets són 7 i 24 cm respectivament.

Figura 5. Geometria per a l'exercici resolt 1. Font: F. Zapata.

Per tant per trobar el valor de R ² s'aplica directament el teorema de Pitàgores c ² = a ² + b ², ja que R és la hipotenusa d'el triangle:

R ² = (7 cm) ² + (24 cm) ² = 625 cm ²

Llavors l'àrea demanada és:

A = π. 625 cm ² = 1963.5 cm ²

Pel que fa a l'perímetre o longitud L de la circumferència, es calcula mitjançant:

L = 2π. R

Substituint valors:

R = √625 cm ² = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157.1 cm.

- Exercici 2

Determinar la longitud de la corda d'una circumferència d'equació:

x ² + i ² - 6x - 14i -111 = 0

Se sap que les coordenades del punt mig de la corda són P (17/2; 7/2).

solució

El punt mig de la corda P no pertany a la circumferència, però els punts extrems de la corda si. El problema es pot resoldre mitjançant el teorema de cordes enunciat prèviament, però abans convé escriure l'equació de la circumferència en la forma canònica, per a determinar el seu radi R i el seu centre O.

Pas 1: obtenir l'equació canònica de la circumferència

L'equació canònica de la circumferència amb centre (h, k) és:

(xh) ² + (k) ² = R ²

Per obtenir-la cal completar quadrats:

(x ² - 6x) + (i ² - 14i) -111 = 0

Cal observar que 6x = 2. (3x) i 14i = 2. (7 i), de manera que l'expressió anterior es reescriu així, quedant inalterada:

(x ² - 6x +3 ² -3 ²) + (i ² - 14i +7 ² -7 ²) -111 = 0

I ara, recordant la definició de producte notable (ab) ² = a ² - 2ab + b ² es pot escriure:

(x - 3) ² - 3 ² + (i - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (X - 3) ² + (i - 7) ² = 111 +3 ² + 7 ² → (x - 3) ² + (i - 7) ² = 169

La circumferència té centre (3,7) i radi R = √169 = 13. La següent figura mostra la gràfica de la circumferència i les cordes que es van a usar en el teorema:

Figura 6. Gràfica de la circumferència de l'exercici resolt 2. Font: F. Zapata mitjançant la calculadora gràfica online Mathway.

Pas 2: determinar els segments a utilitzar en el teorema de cordes

Els segments a utilitzar són les cordes CD i AB, d'acord a la figura 6, totes dues es tallen en el punt P, per tant:

CP. PD = AP. PB

Ara anem a trobar la distància entre els punts O i P, ja que això ens donarà la longitud de l'segment OP. Si a aquesta longitud li sumem el radi, tindrem el segment CP.

La distància d _OP entre dos punts de coordenades (x ₁, i ₁) i (x ₂, i ₂) és:

d _OP ² = OP ² = (x ₂ - x ₁) ² + (i ₂ - i ₁) ² = (3- 17/2) ² + (7- 7/2) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

d _OP = OP = √170 / 2

Amb tots els resultats obtinguts, més la gràfica, construïm la següent llista de segments (veure figura 6):

CO = 13 cm = R

OP = √170 / 2 cm

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm

AP = PB

2.AP = longitud de la corda

Substituint en el teorema de cordes:

CP. PD = AP. PB = = AP ²

= AP ²

253/2 = AP ²

AP = √ (253/2)

La longitud de la corda és 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

Podria el lector resoldre el problema d'una altra manera?

referències

1. Baldor, A. 2004. Geometria plana i de l'espai amb Trigonometria. Publicacions Cultural SA de CV Mèxic.
2. C-K12. Lenght of a Chord. Recuperat de: ck12.org.
3. Escobar, J. L'Circumferència. Recuperat de: matematicas.udea.edu.co.
4. Villena, M. Còniques. Recuperat de: dspace.espol.edu.ec.
5. Wikipedia. Corda (Geometria). Recuperat de: es.wikipedia.org.