COORDENADES CILÍNDRIQUES: SISTEMA, CANVI I EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2025

Les coordenades cilíndriques serveixen per ubicar punts en l'espai tridimensional i consten d'una coordenada radial ρ, una coordenada azimutal φ i una coordenada d'altura z.

Un punt P situat a l'espai es projecta ortogonalment sobre el pla XY donant lloc a el punt P 'en aquest pla. La distància des de l'origen fins al punt P 'defineix la coordenada ρ, mentre que l'angle que forma l'eix X amb la semirecta OP' defineix la coordenada φ. Finalment, la coordenada z és la projecció ortogonal del punt P sobre l'eix Z. (Veure figura 1).

Figura 1. Punt P de coordenades cilíndriques (ρ, φ, z). (Elaboració pròpia)

La coordenada radial ρ sempre és positiva, la coordenada azimutal φ varia des de zero radiants fins a dos pi radiants, mentre la coordenada z pot prendre qualsevol valor real:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

Canvi de coordenades

És relativament senzill obtenir les coordenades cartesianes (x, i, z) d'un punt P a partir de les coordenades cilíndriques (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

i = ρ sin (φ)

z = z

Però també és possible obtenir les coordenades polars (ρ, φ, z) partint de el coneixement de les coordenades cartesianes (x, i, z) d'un punt P:

ρ = √ (x ² + i ²)

φ = arctan (y / x)

z = z

Base vectorial en coordenades cilíndriques

Es defineix la base de vectors unitaris cilíndrics Uρ, Uφ, Uz.

El vector Uρ és tangent a la línia φ = ctte i z = ctte (apuntant radialment cap a fora), el vector Uφ és tangent a la línia ρ = ctte i z = ctte i finalment Uz té la mateixa direcció de l'eix Z.

Figura 2. Base coordenada cilíndrica. (Wikimedia commons)

A la base unitària cilíndrica, el vector de posició r d'un punt P s'escriu vectorialment així:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

D'altra banda, un desplaçament infinitesimal d r a partir del punt P s'expressa de la següent manera:

d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

De manera similar, un element infinitesimal de volum dV en coordenades cilíndriques és:

dV = ρ dρ dφ dz

exemples

Hi ha infinitat d'exemples de l'ús i aplicació de les coordenades cilíndriques. En cartografia, per exemple, s'usa la projecció cilíndrica, basada justament en aquestes coordenades. Existeixen més exemples:

exemple 1

Les coordenades cilíndriques tenen aplicacions en la tecnologia. Com a exemple es té el sistema CHS (Cylinder-Head-Sector) d'ubicació de dades en un disc dur, el qual en realitat consisteix en diversos discos:

- El cilindre o pista correspon a la coordenada ρ.

- El sector correspon a la posició φ del disc que gira a elevada velocitat angular.

- El cap correspon a la posició z de l'capçal de lectura en el disc corresponent.

Cada byte d'informació té una direcció precisa en coordenades cilíndriques (C, S, H).

Figura 2. Ubicació de la informació en coordenades cilíndriques en un sistema de disc dur. (Wikimedia commons)

exemple 2

Les grues de construcció fixen la posició de la càrrega en coordenades cilíndriques. La posició horitzontal queda definida per la distància a l'eix o fletxa de la grua ρ i per la seva posició angular φ respecte d'algun eix de referència. La posició vertical de la càrrega queda determinada per la coordenada z de l'altura.

Figura 3. La posició de la càrrega en una grua de construcció pot expressar-se fàcilment en coordenades cilíndriques. (Imatge pixabay - anotacions R. Pérez)

exercicis resolts

exercici 1

Es tenen els punts P1 de coordenades cilíndriques (3, 120 º, -4) i el punt P2 de coordenades cilíndriques (2, 90 º, 5). Trobar la distància euclidiana entre aquests dos punts.

Solució: En primer lloc, es procedeix a trobar les coordenades cartesianes de cada punt seguint la fórmula que va donar més amunt.

P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1.5, 2.60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

La distància euclidiana entre P1 i P2 és:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1.5)) ² + (2 - 2.60) ² + (5 - (- 4)) ²) =…

… √ (2.25 + 0.36 + 81) = 9.14

exercici 2

El punt P té coordenades cartesianes (-3, 4, 2). Trobar les coordenades cilíndriques corresponents.

Solució: Es procedeix a trobar les coordenades cilíndriques usant les relacions donades més amunt:

ρ = √ (x ² + i ²) = √ ((- 3) ² + 4 ²) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53.13º + 180º = 126.87º

z = 2

Cal recordar que la funció arctangent és multivaluada de periodicitat 180º. A més, l'angle φ ha de pertànyer a el segon quadrant, ja que les coordenades xiy del punt P estan en aquest quadrant. Aquesta és la raó per la qual s'ha sumat 180 º a l'resultat φ.

exercici 3

Expressar en coordenades cilíndriques i en coordenades cartesianes la superfície d'un cilindre de radi 2 i l'eix coincideix amb l'eix Z.

Solució: S'entén que el cilindre té una extensió infinita en la direcció z, de manera que l'equació de la superfície en coordenades cilíndriques és:

ρ = 2

Per obtenir l'equació cartesiana de la superfície cilíndrica es pren el quadrat de tots dos membres de l'equació anterior:

ρ ² = 4

Multipliquem per 1 tots dos membres de la igualtat anterior i apliquem la identitat trigonomètrica fonamental (sin ² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(Sin ² (φ) + cos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

Es desenvolupa el parèntesi per obtenir:

(Ρ sin (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

Recordem que el primer parèntesi (ρ sin (φ)) és la coordenada i d'un punt en coordenades polars, mentre que el parèntesi (ρ cos (φ)) representa la coordenada x, de manera que ens queda l'equació de l'cilindre en coordenades cartesianes:

i ² + x ² = 2 ²

No s'ha de confondre l'equació anterior amb la d'una circumferència en el pla XY, ja que en aquest cas quedaria així: {i ² + x ² = 2 ²; z = 0}.

exercici 4

Un cilindre de radi R = 1 mi alçada H = 1m té la seva massa distribuïda radialment d'acord a la següent equació D (ρ) = C (1 - ρ / R) on C és una constant de valor C = 1 kg / m ³. Trobar la massa total de l'cilindre en quilograms.

Solució: El primer és adonar-se que la funció D (ρ) representa la densitat volumètrica de massa, i que la massa densitat està distribuïda en closques cilíndrics de densitat decreixent de el centre a la perifèria. Un element infinitesimal de volum d'acord a la simetria de el problema és:

dV = ρ dρ 2π H

D'allí s'ha de, la massa infinitesimal d'un closca cilíndric serà:

dM = D (ρ) dV

Pel que la massa total de l'cilindre, quedarà expressada mitjançant la següent integral definida:

M = ∫ _o ^R D (ρ) dV = ∫ _o ^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _o ^R (1 - ρ / R) ρ dρ

La solució de la integral indicada no és difícil d'obtenir, sent el seu resultat:

∫ _o ^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R ²

Incorporant aquest resultat en l'expressió de la massa de l'cilindre s'obté:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ π HCR ² =

⅓ π 1m * 1kg / m ³ * 1m ² = π / 3 kg ≈ 1.05 kg

referències

1. Arfken G and Weber H. (2012). Matemàtiques methods for physicists. A comprehensive guide. 7th edition. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Càlcul cc. Problemes resolts de coordenades cilíndriques i esfèriques. Recuperat de: calculo.cc
3. Weisstein, Eric W. «Cylindrical Coordinates.» From MathWorld-A Wolfram web. Recuperat de: mathworld.wolfram.com
4. wikipedia. Cylindrical coordinate system. Recuperat de: en.wikipedia.com
5. wikipedia. Vector fields in cylindrical and spherical coordinates. Recuperat de: en.wikipedia.com