El angle inscrit d'una circumferència és aquell que té el seu vèrtex sobre la circumferència i els seus semirectes són secants o tangents a aquesta. Com a conseqüència l'angle inscrit sempre serà convex o pla.
A la figura 1 es representen diversos angles inscrits en les seves respectives circumferències. L'angle ∠EDF és inscrit per tenir la seva vèrtex D sobre la circumferència i els seus dos semirectes =.
En un triangle isòsceles, els angles adjacents a la base són iguals, per tant s'han de ∠BCO = ∠ABC = α. D'altra banda ∠COB = 180º - β.
Considerant la suma dels angles interns d'el triangle COB es té:
α + α + (180º - β) = 180º
D'on es dedueix que 2 α = β, o el que és equivalent: α = β / 2. Això coincideix amb el que afirma el teorema 1: la mesura de l'angle inscrit és la meitat de l'angle central, si tots dos angles subtendeixen la mateixa corda.
demostració 1b
Figura 6. Construcció auxiliar per demostrar que α = β / 2. Font: F. Zapata amb Geogebra.
En aquest cas es té un angle inscrit ∠ABC, en què el centre O de la circumferència està dins de l'angle.
Per demostrar el teorema 1 en aquest cas, es traça la semirecta auxiliar).push ({});
Similarment es tenen els angles centrals β 1 i β 2 adjacents a aquesta semirecta. D'aquesta manera es té la mateixa situació que en demostració 1a, de manera que pot afirmar-se que α 2 = β 2 /2 α 1 = β 1 /2. Com α = α 1 + α 2 i β = β 1 + β 2 es té per tant que α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2) / 2 = β / 2.
En conclusió α = β / 2, la qual cosa compleix el teorema 1.
- Teorema 2
Figura 7. Angles inscrits de la mateixa mesura α, perquè subtendeixen el mateix arc A⌒C. Font: F. Zapata amb Geogebra.
- Teorema 3
Els angles inscrits que subtendeixen cordes de la mateixa mesura són iguals.
Figura 8. Els angles inscrits que subtendeixen cordes d'igual mesura, tenen la mateixa mesura β. Font: F. Zapata amb Geogebra.
exemples
- Exemple 1
Demostrar que l'angle inscrit que subtiende el diàmetre és un angle recte.
solució
L'angle central ∠AOB associat a l'diàmetre és un angle pla, la mesura és 180º.
D'acord a l'teorema 1, tot angle inscrit en la circumferència que subtiende la mateixa corda (en aquest cas el diàmetre), té com a mesura la meitat de l'angle central que subtiende la mateixa corda, que per al nostre exemple és 180º / 2 = 90º.
Figura 9. Tot angle inscrit que subtiende a el diàmetre és un angle recte. Font: F. Zapata amb Geogebra.
- Exemple 2
La recta (BC) tangent a A a la circumferència C, determina l'angle inscrit ∠BAC (veure figura 10).
Verificar que es compleix el teorema 1 dels angles inscrits.
Figura 10. Angle inscrit BAC i el seu angle central convex AOA. Font: F. Zapata amb Geogebra.
solució
L'angle ∠BAC és inscrit perquè el seu vèrtex està sobre la circumferència, i els seus costats [AB) i [AC) són tangents a la circumferència, de manera que es compleix la definició d'angle inscrit.
D'altra banda, l'angle inscrit ∠BAC subtendeix l'arc A⌒A, el qual és la circumferència completa. L'angle central que subtiende l'arc A⌒A és un angle convex la mesura és l'angle complet (360º).
L'angle inscrit que subtiende l'arc complet mesura la meitat de l'angle central associat, és a dir ∠BAC = 360º / 2 = 180 º.
Amb tot l'anterior es comprova que aquest cas particular compleix el teorema 1.
referències
- Baldor. (1973). Geometria i trigonometria. Editorial cultural centreamericana.
- EA (2003). Elements de geometria: amb exercicis i geometria de el compàs. Universitat de Medellín.
- Geometria 1ro ESO. Angles en la circumferència. Recuperat de: edu.xunta.es/
- Tot Ciència. Exercicis proposats d'angles en la circumferència. Recuperat de: francesphysics.blogspot.com
- Wikipedia. Angle inscrit. Recuperat de: es.wikipedia.com