- Regla de Sarrus
- Tipus de determinants
- Determinant de dimensió 1
- Determinant de dimensió 2
- Determinant de dimensió 3
- referències
La regla de Sarrus s'usa per calcular el resultat de determinants de 3 × 3. Aquests es fan servir per resoldre equacions lineals i saber si són compatibles.
Els sistemes compatibles permeten obtenir la solució més fàcilment. També s'utilitzen per determinar si conjunts de vectors són linealment independents i formar la base de l'espai vectorial.
Aquestes aplicacions es basen en la invertibilitat de les matrius. Si una matriu és regular, el seu determinant és diferent de 0. Si és singular, el seu determinant val 0. Els determinants només es poden calcular en matrius quadrades.
Per calcular matrius de qualsevol ordre, es pot utilitzar el teorema de Laplace. Aquest teorema ens permet simplificar les matrius de dimensions altes, en sumes de petits determinants que descomponem de la matriu principal.
Afirma que el determinant d'una matriu és igual a la suma dels productes de cada línia o columna, per la determinant de la seva matriu adjunta.
Això va reduint els determinants de manera que un determinant de grau n, es converteix en n determinants de n-1. Si apliquem aquesta regla de forma successiva, podem arribar a obtenir determinants de dimensió 2 (2 × 2) o 3 (3 × 3), on resulta molt més fàcil el seu càlcul.
Regla de Sarrus
Pierre Frederic Sarrus va ser un matemàtic francès de segle XIX. La majoria dels seus tractats matemàtics es basen en mètodes de resolució d'equacions i el càlcul de variacions, dins de les equacions numèriques.
En un dels seus tractats, va resoldre un dels enigmes més complexos de la mecànica. Per resoldre els problemes de les peces articulades, Sarrus va introduir la transformació de moviments rectilinis alternatius, en moviments circulars uniformes. A aquest nou sistema se li coneix com el mecanisme de Sarrus.
La investigació que més fama li va donar a aquest matemàtic va ser en la que va introduir un nou mètode de càlcul de determinants, en l'article "Nouvelles méthodes pour la Resolution donis équations" (Nou mètode per a la resolució d'equacions), que va ser publicat en el any 1833. Aquesta manera de resoldre equacions lineals, es coneix com a regla de Sarrus.
La regla de Sarrus permet calcular el determinant d'una matriu de 3 × 3, sense necessitat d'utilitzar el teorema de Laplace, introduint un mètode molt més senzill i intuïtiu. Per poder comprovar el valor de la regla de Sarrus, prenem una matriu qualsevol de dimensió 3:
El càlcul del seu determinant es realitzaria mitjançant el producte de les seves diagonals principals, restant-li el producte de les diagonals inverses. Això quedaria de la següent manera:
La regla de Sarrus ens permet obtenir una visió molt més senzilla a l'hora de calcular les diagonals de l'determinant. Es simplificaria afegint les dues primeres columnes a la part posterior de la matriu. D'aquesta manera, es veu més clarament quines són les seves diagonals principals i quines les inverses, per al càlcul de l'producte.
A través d'aquesta imatge podem veure l'aplicació de la regla de Sarrus, vam incloure la fila 1 i 2, sota de la representació gràfica de la matriu inicial. D'aquesta manera, les diagonals principals, són les tres diagonals que apareixen en primer lloc.
Les tres diagonals inverses, al seu torn, són aquelles que apareixen en primer lloc en la part posterior.
D'aquesta manera, les diagonals apareixen d'una manera més visual, sense complicar la resolució de l'determinant, tractant d'esbrinar quins elements de la matriu pertanyen a cada diagonal.
Com apareix a la imatge, triem les diagonals i calculem el producte resultant de cada funció. Les diagonals que apareixen en blau són aquelles que se sumen. A la suma d'aquestes, li restem el valor de les diagonals que apareixen en vermell.
Perquè la compressió sigui més fàcil, podem utilitzar un exemple numèric, en comptes d'utilitzar termes i subtérminos algebraics.
Si prenem una matriu 3 × 3 qualsevol, per exemple:
Per aplicar la regla de Sarrus, i resoldre-la d'una manera més visual, hauríem d'incloure la fila 1 i 2, com fila 4 i 5 respectivament. És important mantenir la fila 1 a la 4a posició, i la fila 2 a la 5a. Ja que si les intercanviem, la Regla de Sarrus no resultarà efectiva.
Per calcular el determinant, la nostra matriu quedaria de la següent manera:
Per seguir amb el càlcul, multiplicarem els elements de les diagonals principals. Les descendents que comencen per l'esquerra, han de portar signe positiu; mentre que les diagonals inverses, que són les que comencen per la dreta, porten un signe negatiu.
En aquest exemple, les blaves anirien amb signe positiu i les vermelles amb signe negatiu. El càlcul final de la Regla de Sarrus quedaria d'aquesta manera:
Tipus de determinants
Determinant de dimensió 1
Si la dimensió de la matriu és 1, la matriu és d'aquesta manera: A = (a)
Per tant, el seu determinant quedaria de la següent manera: det (A) = -A- = a
De manera resumida, el determinant de la matriu A, és igual a el valor absolut de la matriu A, que en aquest cas és a.
Determinant de dimensió 2
Si passem a les matrius de dimensió 2, obtenim matrius de l'tipus:
On el seu determinant es defineix com:
La resolució d'aquest determinant es basa en la multiplicació de la seva diagonal principal, restant el producte de la seva diagonal inversa.
Com a regla mnemotècnica, podem utilitzar el següent diagrama per recordar el seu determinant:
Determinant de dimensió 3
Si la dimensió de la matriu és 3, la matriu resultant seria d'aquest tipus:
El determinant d'aquesta matriu es resoldria mitjançant la regla de Sarrus d'aquesta manera:
referències
- Jenny Olive (1998) Maths: A Student 's Survival Guide. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) 30-Second Maths: The 50 Most Mind-Expanding Theories in Mathematics. Ivy Press Limited.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- AWOL Assen (2013) A Study on the Computation of the Determinants of a 3 × 3 Matrix. Lap Lambert Academic Publishing.
- Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrius. Pass Publication.
- Jesse Russell (2012) Rule of Sarrus.
- M. Casteleiro Villalba (2004) Introducció a l'àlgebra lineal. ESIC Editorial.