MÈTODE AXIOMÀTIC: CARACTERÍSTIQUES, PASSOS, EXEMPLES - CULTURA VOCABULARI - 2025

El mètode axiomàtic o també anomenat Axiomàtica és un procediment formal utilitzat per les ciències mitjançant el qual es formulen enunciats o proposicions anomenats axiomes, connectats entre si per una relació de deduïbilitat i que són la base de les hipòtesis o condicions d'un cert sistema.

Aquesta definició general s'ha d'emmarcar dins de l'evolució que aquesta metodologia ha tingut al llarg de la història. En primer lloc, hi ha un mètode antic o de contingut, nascut a l'Antiga Grècia a partir d'Euclides i desenvolupat després, per Aristòtil.

En segon lloc, ja al segle XIX, l'aparició d'una geometria amb axiomes diferents dels d'Euclides. I finalment, el mètode axiomàtic formal o modern, el màxim exponent va ser David Hilbert.

Més enllà del seu desenvolupament al llarg de el temps, aquest procediment ha estat la base de l'mètode deductiu utilitzant-se en la geometria i la lògica on es va originar. També s'ha emprat en la física, la química i la biologia.

I fins i tot s'ha arribat a aplicar dins de la ciència jurídica, la sociologia i l'economia política. No obstant això, actualment la seva esfera d'aplicació més important és les matemàtiques i la lògica simbòlica i algunes branques de la física com la termodinàmica, la mecànica, entre d'altres disciplines.

Característiques

Si bé la característica fonamental d'aquest mètode és la formulació d'axiomes, aquests no han estat sempre considerats de la mateixa manera.

Hi ha alguns que es poden definir i construir d'una manera arbitrària. I d'altres, segons un model en què es consideri la seva veritat garantida intuïtivament.

Per poder comprendre específicament en què consisteix aquesta diferència i les seves conseqüències, cal recórrer l'evolució d'aquest mètode.

Mètode axiomàtic antic o de contingut

És l'establert en l'Antiga Grècia cap al segle V aC La seva esfera d'aplicació és la geometria. L'obra fonamental d'aquesta etapa són els Elements d'Euclides, encara que es considera que abans que ell, Pitàgores, ja havia donat naixement a l'mètode axiomàtic.

Així els grecs prenen certs fets com axiomes, sense que es necessiti cap prova lògica, és a dir, sense necessitat de demostració, ja que per a ells són una veritat evident per si mateixa.

Per la seva banda Euclides presenta cinc axiomes per a la geometria:

1-Donats dos punts hi ha una recta que els conté o els uneix.

2-Qualsevol segment es pot prolongar continuadament en una recta il·limitada per tots dos costats.

3-Es pot traçar una circumferència que tingui un centre en qualsevol punt i un radi qualsevol.

4-Els angles rectes són tots iguals.

5-Prenent qualsevol línia recta i qualsevol punt que no es trobi en ella, hi ha una línia recta paral·lela a aquella i que conté a aquest punt. Aquest axioma és conegut, després, com l'axioma de les paral·leles i ha estat enunciat també com: per un punt exterior a una recta es pot traçar una única paral·lela.

No obstant això, tant Euclides com matemàtics posteriors, coincideixen que el cinquè axioma no és tan clar intuïtivament com els altres 4. Fins i tot durant el Renaixement s'intenta deduir el cinquè dels altres 4, però no és possible.

Això va fer que ja en el segle XIX, els que mantinguessin els cinc fossin partidaris de la geometria euclidiana i els que van negar el cinquè, fossin qui van crear les geometries no euclidianes.

Mètode axiomàtic no euclidià

Són precisament Nikolai Ivànovitx Lobachevski, János Bolyai i Johann Karl Friedrich Gauss qui veuen la possibilitat de construir, sense contradicció, una geometria que provingui de sistemes d'axiomes diferents dels d'Euclides. Això destrueix la creença en la veritat absoluta o priori dels axiomes i les teories que deriven.

Per tant, els axiomes comencen a concebre com a punts de partida d'una teoria determinada. També tant la seva elecció com el problema de la seva validesa en un o altre sentit, comencen a relacionar-se amb fets fora de la teoria axiomàtica.

D'aquesta manera apareixen teories geomètriques, algebraiques i aritmètiques construïdes per mitjà de mètode axiomàtic.

Aquesta etapa culmina amb la creació de sistemes axiomàtics per l'aritmètica com el de Giuseppe Peano en 1891; la geometria de David Hubert el 1899; els enunciats i càlculs de predicats d'Alfred North Whitehead i Bertrand Russell, a Anglaterra el 1910; la teoria axiomàtica dels conjunts d'Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo en 1908.

Mètode axiomàtic modern o formal

És David Hubert qui inicia la concepció d'un mètode axiomàtic formal i que porta a la seva culminació, David Hilbert.

És precisament Hilbert qui formalitza el llenguatge científic, considerant als seus enunciats com a fórmules o seqüències de signes que no tenen en si mateixos cap significat. Només adquireixen significat en una determinada interpretació.

A "Els fonaments de la geometria" explicita el primer exemple d'aquesta metodologia. A partir d'aquí la geometria es converteix en una ciència de conseqüències lògiques pures, que s'extreuen d'un sistema d'hipòtesis o axiomes, millor articulat que el sistema euclidià.

Això és perquè en el sistema antic la teoria axiomàtica es fonamenta en l'evidència dels axiomes. En tant en la fonamentació de la teoria formal es dóna per la demostració de la no contradicció dels seus axiomes.

passos

El procediment que porta endavant una estructuració axiomàtica dins de les teories científiques reconeix:

a-la elecció de certa quantitat d'axiomes, o sigui una quantitat de proposicions d'una certa teoria que s'accepten sense necessitat de ser demostrades.

b-els conceptes que formen part d'aquestes proposicions no es determinen dins el marc de la teoria donada.

c-les regles de definició i de deducció de la teoria donada es fixen i permeten introduir nous conceptes dins de la teoria i deduir lògicament unes proposicions d'altres.

d-les altres proposicions de la teoria, és a dir el teorema, es dedueixen de a sobre la base de c.

exemples

Aquest mètode pot verificar-se a través de la demostració dels dos teoremes d'Euclides més coneguts: el teorema dels catets i el de l'altura.

Tots dos sorgeixen de l'observació d'aquest geòmetra grec que quan es traça l'altura pel que fa a la hipotenusa dins d'un triangle rectangle apareixen dos triangles més de l'original. Aquests triangles són semblants entre si i alhora semblants amb el triangle d'origen. Això suposa que els seus costats respectius homòlegs són proporcionals.

Es pot observar que els angles congruents en els triangles d'aquesta manera verifiquen la semblança que hi ha entre els tres triangles implicats d'acord amb el criteri de semblança AAA. Aquest criteri sosté que quan dos triangles tenen tots els seus angles iguals són semblants.

Una vegada que es demostra que els triangles són semblants es poden establir les proporcions que s'especifiquen en el primer teorema. El mateix enuncia que en un triangle rectangle, la mida de cada catet és mitjana proporcional geomètrica entre la hipotenusa i la projecció de l'catet en ella.

El segon teorema és el de l'altura. En ell s'especifica que qualsevol triangle rectangle l'altura que es traça d'acord a la hipotenusa és mitjana proporcional geomètrica entre els segments que queden determinats per aquesta mitjana geomètrica sobre la hipotenusa.

Per descomptat que tots dos teoremes tenen nombroses aplicacions en tot el món no solament en l'àmbit de l'ensenyament, sinó també en l'enginyeria, física, química i astronomia.

referències

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometria, formalisme i intuïció: David Hilbert i el mètode axiomàtic formal (1895-1905). Revista de Filosofia, Vol. 39 Núm. 2, pp.121-146. Pres de revistas.ucm.es.
2. Hilbert, David. (1918) Axiomatic thought. En W.Ewald, editor, de Kant to Hilbert: a source book in the Foundation of mathematics. Volum II, pp 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
3. Hintikka, Jaako. (2009). What is the axiomatic method? Synthese, novembre 2011, volum 189, pp.69-85. Pres de link.springer.com.
4. López Hernández, Josep. (2005). Introducció a la Filosofia de el Dret contemporània. (Pp.48-49). Pres de books.google.com.ar.
5. Nirenberg, Ricardo. (1996) The Axiomatic Method, a lectura by Ricardo Nirenberg, Fall 1996, the University at Albany, Project Renaissance. Pres de Albany.edu.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert between the formal and the informal side of Mathematics. Manuscrit vol. 38 no. 2, Campinas July / August 2015. Pres de scielo.br.