NOMBRES RACIONALS: PROPIETATS, EXEMPLES I OPERACIONS - MATEMÀTIQUES - 2025

Els nombres racionals són tots els nombres que poden obtenir-se com la divisió de dos nombres enters. Exemples de nombres racionals són: 3/4, 8/5, -16 / 3 i els que apareixen a la següent figura. En un nombre racional el quocient està indicat, sent possible efectuar més endavant si es requereix.

A la figura es representa un objecte qualsevol, rodó per a més comoditat. Si volem dividir-lo en 2 parts iguals, com en la dreta, ens queden dues meitats i cadascuna val 1/2.

Figura 1. Els nombres racionals s'utilitzen per dividir el tot en diverses parts. Font: Freesvg.

A l'dividir-lo en 4 parts iguals, obtindrem 4 trossos i cada un val 1/4, com en la imatge de centre. I si cal repartir-ho en 6 parts iguals, ja que cada part valdria 1/6, la qual veiem en la imatge de l'esquerra.

Per descomptat, també podríem dividir-lo en dues parts no iguals, per exemple podríem quedar-nos amb 3/4 parts i guardar 1/4 part. Altres divisions també són possibles, com ara 4/6 parts i 2/6 parts. L'important és que la suma de totes les parts resulti gener.

D'aquesta manera, és evident que amb els nombres racionals es poden dividir, comptar i repartir coses com aliments, diners, terrenys i tota mena d'objectes en fraccions. I així s'amplia la quantitat d'operacions que es poden fer amb els números.

Els nombres racionals poden expressar-se també en forma decimal, com es pot veure en els següents exemples:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333…..

3/4 = 0,75

1/7 =,142857142857142857………

Més endavant vam indicar com passar d'una forma a una altra amb exemples.

Propietats dels nombres racionals

Els nombres racionals, el conjunt dels denotarem amb la lletra Q, tenen les següents propietats:

-Q inclou els nombres naturals N i als nombres enters Z.

Tenint en compte que qualsevol nombre a es pot expressar com el quocient entre si mateix i l'1, és fàcil veure que entre els nombres racionals també hi ha naturals i els enters.

Així, el nombre natural 3 es pot escriure com a fracció, i també -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

D'aquesta manera Q és un conjunt numèric que abasta una major quantitat de nombres, una cosa molt necessari, ja els números "rodons" no són suficients per descriure totes les operacions possibles de fer.

-Els nombres racionals es poden sumar, restar, multiplicar i dividir, i el resultat de l'operació un nombre racional: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

-Entre cada parella de nombres racionals, sempre pot trobar-se un altre nombre racional. De fet entre dos nombres racionals hi ha infinits racionals.

Per exemple, entre els racionals 1/4 i 1/2 estan els racionals 3/10, 7/20, 2/5 (i molts més), la qual cosa es pot verificar los constar com decimals.

Qualsevol nombre racional es pot expressar com: i) un nombre enter o ii) un decimal limitat (estricte) o periòdic: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,16666666……

-Un mateix nombre pot ser representat per infinites fraccions equivalents i totes elles pertanyen a Q. Vegem aquest grup:

Totes representen a l'decimal 0.428571…

-De entre totes les fraccions equivalents que representen a un mateix nombre, la fracció irreductible, la més senzilla de totes, és el representant canònic d'aquest número. El representant canònic de l'exemple anterior és 3/7.

Figura 2.- El conjunt Q dels nombres racionals. Font: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Exemples de nombres racionals

-Fracciones pròpies, aquelles en les quals el numerador és menor que el denominador:

-Fracciones impròpies, el numerador és més gran que el denominador:

-Números naturals i nombres enters:

-Fracciones equivalents:

Representació decimal d'un nombre racional

Quan es divideix el numerador entre el denominador es troba la forma decimal d'el nombre racional. Per exemple:

2/5 = 0.4

3/8 = 0.375

1/9 = 0,11111…

6/11 = 0,545454…

En els dos primers exemples, la quantitat de decimals està limitada. Això vol dir que quan es fa la divisió finalment s'obté una resta 0.

En canvi en els dos següents, el nombre de decimals és infinit i per això es col·loquen els punts suspensius. En aquest últim cas hi ha un patró en els decimals. En el cas de la fracció 1/9 la xifra 1 es repeteix indefinidament, mentre que a 6/11 és el 54.

Quan això succeeix es diu que el decimal és periòdic i es denota mitjançant accent circumflex així:

Transformar un decimal a fracció

Si es tracta d'un decimal limitat, simplement s'elimina la coma i el denominador passa a ser la unitat seguida de tants zeros com xifres tingui el decimal. Per exemple, per transformar el decimal 1.26 a fracció s'escriu així:

1.26 = 126/100

Després es simplifica la fracció resultant a l'màxim:

126/100 = 63/50

Si el decimal és il·limitat primer s'identifica el període. Després se segueixen aquests passos per trobar la fracció resultant:

-El numerador és la resta entre el nombre (sense coma ni accent circumflex) i la part que no porta l'accent circumflex.

-El denominador és un enter amb tants 9 com xifres hi ha sota el circumflex, i tants 0 com xifres de la part decimal hi ha que no es troben sota el circumflex.

Seguim aquest procediment per transformar el nombre decimal 0,428428428… en fracció.

-Primer s'identifica el període, el qual és la seqüència que es repeteix: 428.

Després es fa l'operació de restar el nombre sense coma ni accent: 0428 de la part que no té circumflex, la qual és 0. Queda així 428 - 0 = 428.

-Es construeix el denominador, sabent que sota el circumflex hi ha 3 xifres i totes estan sota el circumflex. Per tant el denominador és 999.

-Finalment es forma la fracció i se simplifica si és possible:

0428 = 428/999

No és possible simplificar més.

Operacions amb nombres racionals

- Suma i resta

Fraccions amb el mateix denominador

Quan les fraccions tenen el mateix denominador, sumar-i / o restar-és molt fàcil, perquè simplement se sumen algebraicament els numeradors, deixant com a denominador de l'resultat a la mateixa dels sumands. Finalment si és possible, se simplifica.

exemple

Efectuar la següent suma algebraica i simplificar el resultat:

La fracció resultant ja és irreductible.

Fraccions amb diferent denominador

En aquest cas, els sumands es substitueixen per fraccions equivalents amb el mateix denominador i després se segueix el procediment ja descrit.

exemple

Sumar algebraicament els següents nombres racionals simplificant el resultat:

Els passos són:

Determinar el mínim comú múltiple (mcm) dels denominadors 5, 8 i 3:

mcm (5,8,3) = 120

Aquest serà el denominador de la fracció resultant sense simplificar.

-Per cada fracció: dividir el mcm entre el denominador i multiplicar pel numerador. El resultat d'aquesta operació es col·loca, amb el seu respectiu signe, en el numerador de la fracció. D'aquesta manera s'obté una fracció equivalent a l'original, però amb el mcm com a denominador.

Per exemple, per la primera fracció, el numerador es construeix així: (120/5) x 4 = 96 i s'obté:

Es procedeix de la mateixa manera per a les restants fraccions:

Finalment es substitueixen les fraccions equivalents sense oblidar el seu signe i s'efectua la suma algebraica dels numeradors:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Multiplicació i divisió

La multiplicació i la divisió es fan seguint les regles mostrades a continuació:

Figura 3. Regles per efectuar la multiplicació i la divisió de nombres racionals. Font: F. Zapata.

En tot cas és important recordar que la multiplicació és commutativa, el que significa que l'ordre dels factors no altera el producte. Això no passa amb la divisió, de manera que s'ha de cuidar de respectar l'ordre entre dividend i divisor.

exemple 1

Efectuar les següents operacions i simplificar el resultat:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Resposta a

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Resposta b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

exemple 2

Lluïsa tenia 45 $. Va gastar una desena part comprant un llibre i 2/5 parts del que li va quedar en una samarreta. Quants diners li queda a Luisa? Expresseu el resultat en fracció irreductible.

solució

El llibre va costar (1/10) x 45 $ = 0.1 x 45 $ = 4.5 $

Per tant Luisa es va quedar amb:

45 - 4.5 $ = 40.5 $

Amb aquests diners Luisa va anar a la botiga de roba i va comprar la samarreta, el preu és:

(2/5) x 40.5 $ = 16.2 $

Ara Luisa té a la cartera:

40.5 - 16.2 $ = 24.3 $

Per expressar-ho en fracció s'escriu així:

24.3 = 243/10

Que és irreductible.

referències

1. Baldor, A. 1986. Aritmètica. Edicions i Distribucions Còdex.
2. Carena, M. 2019. Manual de Matemàtica. Universitat Nacional d'el Litoral.
3. Figuera, J. 2000. Matemàtica 8. Edicions Co-Bo.
4. Jiménez, R. 2008. Àlgebra. Prentice Hall.
5. Els nombres racionals. Recuperat de: cimanet.uoc.edu.
6. Nombres racionals. Recuperat de: webdelprofesor.ula.ve.