S'entén per invers multiplicatiu d'un nombre, un altre nombre que multiplicat pel primer dóna com a resultat l'element neutre del producte, és a dir la unitat. Si es té un nombre real a llavors el seu invers multiplicatiu es denota per a -1, i es compleix que:
aa -1 = a -1 a = 1
En general, el nombre a pertany a conjunt dels nombres reals.
Figura 1. I és invers multiplicatiu de X i X és invers multiplicatiu d'I
Si per exemple prenem a = 2, llavors el seu invers multiplicador és 2 -1 = ½ ja que es verifica el següent:
2 ⋅ 2 -1 = 2 -1 ⋅ 2 = 1
2⋅ ½ = ½ ⋅ 2 = 1
A l'invers multiplicatiu d'un nombre també se l'anomena el recíproc, pel fet que l'invers multiplicatiu s'obté intercanviant numerador i denominador, per exemple l'invers multiplicatiu de 3/4 és 4/3.
Com a regla general pot dir-se que per a un nombre racional (p / q) el seu invers multiplicatiu (p / q) -1 és recíproc (q / p) com pot verificar-se a continuació:
(p / q) ⋅ (p / q) -1 = (p / q) ⋅ (q / p) = (p⋅ q) / (q⋅ p) = (p⋅ q) / (p⋅ q) = 1
Recordem que l'invers multiplicatiu es denomina també el recíproc perquè s'obté justament intercanviant numerador i denominador.
Llavors l'invers multiplicatiu de (a - b) / (a ^ 2 - b ^ 2) serà:
(A ^ 2 - b ^ 2) / (a - b)
Però aquesta expressió pot simplificar si reconeixem, d'acord a les regles de l'àlgebra, que el numerador és una diferència de quadrats que pot factorizarse com el producte d'una suma per una diferència:
((A + b) (a - b)) / (a - b)
Com hi ha un factor comú (a - b) en el numerador i en el denominador es procedeix a simplificar, obtenint finalment:
(A + b) que és l'invers multiplicatiu de (a - b) / (a ^ 2 - b ^ 2).
referències
- Fonts, A. (2016). MATEMÀTIQUES BÀSIQUES. Una Introducció a l'Càlcul. Lulu.com.
- Garo, M. (2014). Mathematics: quadratic equations: How solve a quadratic equation. Marilú Garo.
- Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matemàtiques per a administració i economia. Pearson Educació.
- Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matemàtiques 1 SET. Llindar.
- Preciado, CT (2005). Curs de Matemàtiques 3r. Editorial Progrés.
- Rock, NM (2006). Àlgebra I Is Easy! So Easy. Team Rock Press.
- Sullivan, J. (2006). Àlgebra i Trigonometria. Pearson Educació.