La interpolació lineal és un mètode que s'origina de la interpolació general de Newton i permet determinar per aproximació un valor desconegut que està entre dos nombres donats; és a dir, es troba un valor intermedi. També és aplicat per aproximar funcions, on els valors f (a) if (b) són coneguts i es vol saber l'intermedi de f (x).
Hi ha diferents tipus d'interpolació, com lineal, quadràtica, cúbica i de majors graus, sent la més simple l'aproximació lineal. El preu que s'ha de pagar amb la interpolació lineal és que el resultat no serà tan precís com amb aproximacions mitjançant funcions de graus superiors.
definició
La interpolació lineal és un procés que permet deduir un valor entre dos valors ben definits, que poden estar en una taula o en un gràfic lineal.
Per exemple, si se sap que 3 litres d'lechen valen 4 $ i que 5 litres val 7 $, però es vol saber quin és el valor de 4 litres de llet, s'interpola per determinar aquest valor intermedi.
mètode
Per estimar un valor intermedi d'una funció s'aproxima la funció f (x) per mitjà d'una recta r (x), el que significa que la funció varia linealment amb «x» per a un tram «x = a» i «x = b »; és a dir, per un valor «x» en l'interval (x 0, x 1) i (i 0, i 1), el valor «i» és donat per la línia entre els punts i s'expressa per la relació següent:
(i - i 0) ÷ (x - x 0) = (i 1 - i 0) ÷ (x 1 - x 0)
Perquè una interpolació sigui lineal, cal que el polinomi d'interpolació sigui de grau un (n = 1), perquè s'ajusti als valors de x 0 i x 1.
La interpolació lineal està basada en semblança de triangles, de tal manera que, derivant geomètricament de l'expressió anterior, es pot obtenir el valor de «i», que representa el valor desconegut per «x».
D'aquesta forma es té que:
a = tan ɵ = (catet oposat 1 ÷ catet adjacent 1) = (catet oposat 2 ÷ catet adjacent 2)
Expressat d'una altra manera, és:
(i - i 0) ÷ (x - x 0) = (i 1 - i 0) ÷ (x 1 - x 0)
Aïllant «i» de les expressions, es té:
(i - i 0) * (x 1 - x 0) = (x - x 0) * (i 1 - i 0)
(i - i 0) = (i 1 - i 0) *
Així, s'obté l'equació general per interpolació lineal:
i = i 0 + (i 1 - i 0) *
En general la interpolació lineal dóna un error petit sobre el valor real de la funció veritable, encara que l'error és mínim en comparació a si es tria de manera intuïtiva un nombre proper a què es vol trobar.
Aquest error es produeix quan s'intenta aproximar el valor d'una corba amb una línia recta; per a aquests casos s'ha de disminuir la mida de l'interval per fer més precisa l'aproximació.
Per a millors resultats pel que fa a l'aproximació és recomanable utilitzar funcions de grau 2, 3 o fins i tot de graus majors per realitzar la interpolació. Per a aquests casos el teorema de Taylor és un eina molt útil.
exercicis resolts
exercici 1
El nombre de bacteris per unitat de volum existents en una incubació després de x hores és presentat en la següent taula. Es desitja saber quin és el volum de bacteris per al temps de 3,5 hores.
solució
La taula de referència no estableix un valor que indiqui la quantitat de bacteris per a un temps de 3,5 hores però sí que es tenen valors superiors i inferiors corresponents a un temps de 3 i 4 hores, respectivament. D'aquesta manera:
x 0 = 3 i 0 = 91
x = 3,5 i =?
x 1 = 4 i 1 = 135
Ara, s'aplica l'equació matemàtica per trobar el valor interpolat, que és la següent:
i = i 0 + (i 1 - i 0) *.
Després es substitueixen els valors corresponents:
i = 91 + (135 - 91) *
i = 91 + (44) *
i = 91 + 44 * 0,5
i = 113.
Així s'obté que per a un temps de 3,5 hores, la quantitat de bacteris és 113, que representa un nivell intermedi entre el volum de bacteris existents en els temps de 3 i 4 hores.
exercici 2
Luis té una fàbrica de gelats, i vol fer un estudi per determinar els ingressos que va tenir a l'agost a partir de les despeses fetes. L'administrador de l'empresa realitza una gràfica que expressa aquesta relació, però Luis desitja saber:
Quins són els ingressos d'agost, si es va realitzar una despesa de 55 000 $?
solució
És donada una gràfica amb valors dels ingressos i les despeses. Luis vol saber quins són els ingressos d'agost si la fàbrica va tenir una despesa de 55 000 $. Aquest valor no està reflectit directament en la gràfica, però es tenen els valors superiors i inferiors a aquest.
Primer es realitza una taula on per relacionar els valors amb facilitat:
Ara, s'utilitza la fórmula d'interpolació per a determinar així, el valor de i
i = i 0 + (i 1 - i 0) *
Després es substitueixen els valors corresponents:
i = 56.000 + (78.000 - 56.000) *
i = 56.000 + (22.000) *
i = 56.000 + (22.000) * (0,588)
i = 56.000 + 12.936
i = 68.936 $.
Si es va realitzar una despesa de 55.000 $ a l'agost, els ingressos van ser de 68.936 $.
referències
- Arthur Goodman, LH (1996). Àlgebra i trigonometria amb geometria analítica. Pearson Educació.
- Harpe, P. d. (2000). Topics in Geometric Group Theory. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Linear interpolation », Encyclopedia of Mathematics.
- , JM (1998). Elements de mètodes numèrics per a Enginyeria. UASLP.
- , I. (2002). A Chronology of interpolation: from ancient astronomy to modern signal and image processing. Proceedings of the IEEE.
- numèric, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.