VECTORS CONCURRENTS: CARACTERÍSTIQUES, EXEMPLES I EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2026

Els vectors concurrents són els grups de vectors els eixos coincideixen en un punt, formant-se entre cada parell un angle intern i un altre extern. Un exemple clar s'observa en la figura inferior, on A, B i C són vectors concurrents entre si.

D i E a diferència de la resta no ho són. Hi angles formats entre els vectors concurrents AB, AC i CB. Es denominen angles de relació entre els vectors.

Característiques

-Tenen un punt en comú, el qual coincideix amb el seu origen: totes les magnituds dels vectors concurrents parteixen d'un punt en comú fins als seus respectius extrems.

-El origen és considerat com el punt d'acció de el vector: s'ha d'establir un punt d'acció el qual serà directament afectat per cadascun dels vectors concurrents.

-La seva domini en el pla i espai és R ² i R ³ respectivament: els vectors concurrents són lliures de cobrir tot l'espai geomètric.

-Permet diferents notacions en un mateix grup de vectors. Segons les branques d'estudi, diferents notacions es fan presents en les operacions amb vectors.

Tipus de vectors

La branca dels vectors posseeix múltiples subdivisions, entre alguns es poden nomenar: els paral·lels, perpendiculars, coplanaris, corresponents, oposats i unitaris. Els vectors concurrents figuren en aquesta llista i a l'igual que tots els nomenats anteriorment, tenen moltes aplicacions en diferents ciències.

Són molt comuns en l'estudi de vectors, pel fet que representen una generalització profitosa en les operacions amb aquests. Tant en el pla com en l'espai, els vectors concurrents són d'ús corrent per a la representació de diferents elements i estudiar la seva influència en un sistema particular.

Notació de vectors

Hi ha diverses formes de representar un element vectorial. Les principals i més conegudes són:

cartesiana

Proposta per aquest mateix enfocament matemàtic, denota als vectors amb una terna corresponent a les magnituds de cada eix (x, i, z)

A: (1, 1, -1) Espai A: (1, 1) Pla

polar

Serveixen únicament per denotar vectors en el pla, encara que en el càlcul integral se li assigna la component de profunditat. Es compon amb una magnitud lineal r i un angle respecte a l'eix polar ɵ.

A: (3, 45 ⁰) Pla A: (2, 45 ⁰, 3) Espai

analític

Defineixen les magnituds de el vector mitjançant els inversors. Els inversors (i + j + k) representen els vectors unitaris corresponents als eixos X, Y i

A: 3i + 2j - 3k

esfèric

Són similars a la notació polar, però amb l'addició d'un segon angle que escombra sobre el pla xy simbolitzat per δ.

A: (4, 60 ^o, π / 4)

Operacions amb vectors concurrents

Els vectors concurrents són majorment usats per a definir operacions entre vectors, pel fet que resulta més senzill comparar els elements dels vectors quan aquests es presenten de manera concurrent.

Suma (A + B)

La suma de vectors concurrents té com a finalitat trobar el vector resultant V _r. El qual, segons la branca d'estudi, correspon a una acció final

Per exemple: Es lliguen 3 cordes {A, B, C} a una caixa, cada extrem de la corda està en mans d'un subjecte. Cada un dels 3 subjectes ha de halar la corda en una direcció diferent als altres 2.

A: (x, ai, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, ci, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ai + by + ci; az + bz + cz) = V _r

La caixa només podrà moure en una sola direcció, per tant V _r indicar la direcció i sentit de l'desplaçament de la caixa.

Diferència (A - B)

Hi ha molts criteris pel que fa a la diferència entre vectors, molts autors opten per excloure-la i afirmen que només s'estipula la suma entre vectors, on la diferència es tracta de la suma de el vector oposat. La veritat és que algebraicament els vectors poden restar.

A: (x, ai, az) B: (bx, by, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; ai-by; az-bz) =

Producte escalar (A. B)

També conegut com a producte punt, genera un valor escalar que pot ser relacionat amb diverses magnituds segons la branca d'estudi.

Per a la geometria indica l'àrea de l'paral·lelogram format pel parell de vectors concurrents a través del mètode de l'paral. Per a la física mecànica defineix el treball realitzat per una força F a l'desplaçar un cos una distància Δr.

ѡ = F. Δr

Tal qual el seu nom ho indica genera un valor escalar i es defineix de la següent manera:

Siguin els vectors A i B

A: (x, ai, az) B: (bx, by, bz)

-Forma analítica:

(A. B) = -A -.- B-.Cos θ

On θ és l'angle intern entre els dos vectors

-Forma algebraica:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Producte vectorial (A x B)

El producte vectorial o producte punt entre dos vectors, defineix un tercer vector C que té la qualitat de ser perpendicular a B i C. En la física defineix el vector torque τ element base de la dinàmica rotacional.

-Forma analítica:

- A x B - = -A -.- B-.Sen θ

-Forma algebraica:

(A x B) = = (ax. By - ai. Bx) - (x. Bz - az. Bx) j + (ax. By - ai. Bx) k

-Moviment relatiu: r _{A / B}

La base de la relativitat és el moviment relatiu i els vectors concurrents són la base de el moviment relatiu. Es poden deduir posicions, velocitats i acceleracions relatives aplicant el següent ordre d'idees.

r _{A / B} = r _A - r _B; Posició relativa de A respecte a B

v _{A / B} = v _A - v _B; Velocitat relativa d'A respecte a B

a _{A / B} = a _A - a _B; Acceleració relativa de A respecte a B

Exemples: exercicis resolts

exercici 1

Siguin A, B i C vectors concurrents.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

Definir el vector resultant V _r = 2A - 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

Definir el producte escalar (A. C)

(A. C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5

(A. C) = 3

Calcular l'angle entre A i C

(A. C) = -A -.- C-.Cos θ On θ és l'angle més curt entre els vectors

θ = 88,63 ⁰

-Trobar un vector perpendicular a A i B

Per això és necessari definir el producte vectorial entre (-1, 3, 5) i (3, 5, -2). Tal com es va explicar abans, es construeix una matriu de 3 x 3 on les primera fila està composta per la terna de vectors unitaris (i, j, k). Després la 2dóna i 3era fila la componen els vectors a operar, respectant l'ordre operacional.

(A x B) = = i - j + k

(A x B) = (-5 - 9) I - (2 - 15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 R + 13 j - 14 k

exercici 2

Siguin V _a i V _b els vectors velocitat de A i B respectivament. Calcular la velocitat de B vist des de A.

V _a = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

En aquest cas es demana la velocitat relativa de B respecte de A V _{B / A}

V _{B / A} = V _B - V _A

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Aquest és el vector velocitat de B vist des A. On es descriu un nou vector de la velocitat de B prenent referència d'un observador posicionat en A i desplaçant-se amb la velocitat d'A

exercicis proposats

1-Construeixi 3 vectors A, B i C que siguin concurrents i relacioni 3 operacions entre ells mitjançant un exercici pràctic.

2-Siguin els vectors A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) i C: (-2, -1, 10). Trobi vectors perpendiculars a: A i B, C i B, La suma A + B + C.

4-Determineu 3 vectors que siguin perpendiculars entre si, sense tenir en compte els eixos de coordenades.

5-Definiu el treball realitzat per una força que aixeca un bloc de 5 kg de massa, des del fons d'un pou de 20m de profunditat.

6-Demostri de manera algebraica que la resta de vectors és igual a la suma el vector oposat. Justifiqueu seus postulats.

7-denoti un vector en totes les notacions desenvolupades en aquest article. (Cartesiana, polar, analítica i esfèrica).

8-Les forces magnètiques exercides sobre un imant que reposa en una taula, està donada pels vectors següents; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), H: (-3, 5, -4). Determineu en quina direcció es mourà l'imant si totes les forces magnètiques actuen a el mateix temps.

referències

1. Euclidean Geometry and Transformations. Clayton W. Dodge. Courier Corporation, 1 ena. 2004
2. How to Solve Applied Mathematics Problems L. Moiseiwitsch. Courier Corporation, 10 abr. 2013
3. Basic Concepts of Geometry. Walter Prenowitz, Meyer Jordan. Rowman & Littlefield, 4 oct. 2012
4. Els vectors. Rocío Navarro Lacoba, 7 jun. 2014
5. Àlgebra lineal. Bernard Kolman, David R. Hill. Pearson Educació, 2006