VECTORS COLINEALS: SISTEMA I EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2026

Els vectors colineals són un dels tres tipus de vectors existents. Es tracta d'aquells vectors que es troben en la mateixa direcció o línia d'acció. Això vol dir el següent: dos o més vectors seran alineats si es dóna el cas que es troben disposats en rectes que són paral·leles entre si.

Un vector es defineix com una magnitud aplicada a un cos i es caracteritza per tenir una adreça, un sentit i una escala. Els vectors es poden trobar en el pla o en l'espai i poden ser de diferents tipus: vectors colineals, vectors concurrents i vectors paral·lels.

vectors colineals

Els vectors són colineals si la línia d'acció d'un és exactament la mateixa línia d'acció de tots els altres vectors, sense importar la mida i sentit de cada un dels vectors.

Els vectors són utilitzats com a representacions en diferents àrees com matemàtica, física, àlgebra i també en geometria, on els vectors són colineals només quan la seva adreça és la mateixa, independentment de que el seu sentit no ho sigui.

Característiques

- Dos o més vectors són colineals si la relació que hi ha entre les coordenades és igual.

exemple 1

Es tenen els vectors m = {m_x; m_i} in = {n_x; n_y}. Aquests són colineals si:

exemple 2

- Dos o més vectors són colineals si el producte o multiplicació vectorial és igual a zero (0). Això és perquè, en el sistema de coordenades, cada vector és caracteritzat per les seves respectives coordenades, i si aquestes són proporcionals entre si els vectors seran colineals. Això és expressat de la següent manera:

exemple 1

Es tenen els vectors a = (10, 5) ib = (6, 3). Per determinar si són colineals s'aplica la teoria de l'determinant, que estableix la igualtat dels productes encreuats. D'aquesta forma, s'ha de:

Sistema de vectors colineals

Els vectors colineals són representats gràficament fent servir l'adreça i el sentit d'aquests -tenint en compte que aquests han de passar pel punt d'aplicació- i el mòdul, que és una escala o longitud determinada.

El sistema de vectors alineats és format quan sobre un objecte o cos actuen dues o més vectors, que representen a una força i que actuen en la mateixa direcció.

Per exemple, si s'apliquen dues forces colineals sobre un cos, la resultant d'aquestes només dependrà de el sentit en què actuïn. Eexisten tres casos, que són:

Vectors colineals amb sentits contraris

La resultant de dos vectors alineats és igual a la suma d'aquests:

R = Σ F = F ₁ + F _2.

exemple

Si sobre un carret actuen dues forces F ₁ = 40 N i F ₂ = 20 N en sentit contrari (com es mostra a la imatge), la resultant és:

R = Σ F = (- 40 N) + 20N.

R = - 20 N.

Vectors colineales amb el mateix sentit

La magnitud de la força resultant serà igual a la suma dels vectors colineals:

R = Σ F = F ₁ + F _2.

exemple

Si sobre un carret actuen dues forces F ₁ = 35 N i F ₂ = 55 N en el mateix sentit (com es mostra a la imatge), la resultant és:

R = Σ F = 35 N + 55N.

R = 90 N.

La resultant positiva indica que els vectors colineals actuen cap a l'esquerra.

Vectors colineals amb magnituds iguals i sentits contraris

La resultant dels dos vectors colineals serà igual a la suma dels vectors colineals:

R = Σ F = F ₁ + F _2.

Com les forces tenen la mateixa magnitud però en sentit contrari, és a dir, que una serà positiva i una altra negativa-, a l'sumar les dues forces la resultant serà igual a zero.

exemple

Si sobre un carret actuen dues forces F ₁ = -7 N i F ₂ = 7 N, que posseeixen la mateixa magnitud però en sentit contrari (com es mostra a la imatge), la resultant és:

R = Σ F = (-7 N) + 7N.

R = 0.

Com la resultant és igual a 0, significa que els vectors s'equilibren entre si i, per tant, el cos està en equilibri o en repòs (no es mourà).

Diferència entre vectors colineals i concurrents

Els vectors colineals es caracteritzen per tenir la mateixa direcció en una mateixa recta, o perquè són paral·lels a una recta; és a dir, són vectors directors de rectes paral·leles.

Per la seva banda, els vectors concurrents són definits perquè ells es troben en diferents línies d'acció que es intercepten en un únic punt.

En altres paraules, ells tenen un mateix punt d'origen o arribada -independentment del seu mòdul, sentit o direcció-, formant un angle entre ells.

Els sistemes de vectors concurrents són resolts per mètodes matemàtics o gràfics, que són el mètode de l'paral·lelogram de forces i mètode de l'polígon de forces. A través d'aquests es determinarà el valor d'un vector resultant, que indica la direcció en la qual un cos es mourà.

Bàsicament, la principal diferència entre els vectors colineals i els concurrents és la línia d'acció en la qual actuen: els colineals actuen en una mateixa línia, mentre que els concurrents en diferents.

És a dir, els vectors colineals actuen en un sol pla, "X" o "I"; i els concurrents actuen en ambdós plans, partint des d'un mateix punt.

Els vectors colineals no es troben en un punt, com ho fan els concurrents, perquè ells són paral·lels entre si.

A la imatge esquerra es pot veure un bloc. És amarrat amb una corda i el nus la divideix en dos; a l'ésser halados cap a diferents orientacions i amb diferents forces, el bloc es mourà cap a una mateixa direcció.

S'estan representant dos vectors que concorren en un punt (el bloc), a part el seu mòdul, sentit o direcció.

En canvi, en la imatge dreta apareix una politja que aixeca una caixa. La corda representa la línia d'acció; quan és halada, dues forces (vectors) actuen sobre ella: una força de tensió (a l'pujar el bloc) i una altra força, la que exerceix el pes de l'bloc. Les dues posseeixen la mateixa direcció però en sentits oposats; no concorren en un punt.

referències

1. Estalella, JJ (1988). Anàlisi vectorial. Volum 1.
2. Gupta, A. (sf). Tata McGraw-Hill Education.
3. Jin Ho Kwak, SH (2015). Linear Algebra. Springer Science & Business Mitjana.
4. Montiel, HP (2000). Física 1 per a Batxillerat Tecnològic. Grup Editorial Pàtria.
5. Santiago Burbano de Ercilla, CG (2003). Física general. Editorial Tebar.
6. Sinha, K. (sf). A Text Book of Mathematics XII Vol. 2. Rastogi Publications.