- trinomis
- Trinomi quadrat perfecte
- Característiques dels trinomis de grau 2
- quadrat perfecte
- fórmula resolvent
- interpretació geomètrica
- Factorització de trinomis
- exemples
- exemple 1
- exemple 2
- referències
Abans d'aprendre a resoldre el trinomi de la forma x ^ 2 + bx + c, i fins i tot abans de conèixer el concepte de trinomi, és important conèixer dues nocions essencials; a saber, els conceptes de monomi i polinomi. Un monomi és una expressió de l'tipus a * x n, on a és un nombre racional, n és un nombre natural i x és una variable.
Un polinomi és una combinació lineal de monomis de la forma a n * x n + a n-1 * x n-1 +… + a 2 * x 2 + a 1 * x + a 0, on cada a i, amb i = 0,…, n, és un nombre racional, n és un nombre natural i a_n és diferent de zero. En aquest cas es diu que el grau de el polinomi és n.
Un polinomi format per la suma de només dos termes (dos monomis) de graus diferents, es coneix com binomi.
trinomis
Un polinomi format per la suma de només tres termes (tres monomis) de graus diferents, es coneix com trinomi. Els següents són exemples de trinomis:
- x 3 + x 2 + 5x
- 2x 4 -x 3 +5
- x 2 + 6x + 3
Hi ha diversos tipus de trinomis. D'aquests destaca el trinomi quadrat perfecte.
Trinomi quadrat perfecte
Un trinomi quadrat perfecte és el resultat d'elevar un binomi a el quadrat. Per exemple:
- (3x-2) 2 = 9x 2 -12x + 4
- (2x 3 + i) 2 = 4x 6 + 4x 3 i + i 2
- (4x 2 -2y 4) febrer = 16x 4 -16x 2 i 4 + 4y 8
- 1 / 16x 2 i 8 -1 / 2xy 4 z + z 2 = (1 / 4xy 4) febrer -2 (1 / 4xy 4) z + z 2 = (1 / 4xy 4 -z) 2
Característiques dels trinomis de grau 2
quadrat perfecte
En general, un trinomi de la forma ax 2 + bx + c és un quadrat perfecte si el seu discriminant és igual a zero; és a dir, si b 2 -4ac = 0, ja que en aquest cas tindrà una sola arrel i es podrà expressar en la forma a (xd) 2 = (√a (xd)) 2, on d és l'arrel ja esmentada.
Una arrel d'un polinomi és un número en què el polinomi es fa zero; en altres paraules, un nombre que, a l'substituir en x en l'expressió de l'polinomi, doni com a resultat zero.
fórmula resolvent
Una fórmula general per calcular les arrels d'un polinomi de segon grau de la forma ax 2 + bx + c és la fórmula de la resolvent, que estableix que aquestes arrels vénen donades per (-b ± √ (b 2 -4ac)) / 2a, on b 2 -4ac es coneix com el discriminant i usualment es denota per Δ. D'aquesta fórmula es dedueix que x 2 + bx + c té:
- Dues arrels reals diferents si Δ> 0.
- Una única arrel real si Δ = 0.
- No té cap arrel real si Δ <0.
En el que segueix es consideraran només els trinomis de la forma x 2 + bx + c, on clarament c ha de ser un nombre diferent de zero (en cas contrari seria un binomi). Aquest tipus de trinomis posseeixen certs avantatges a l'hora de factorizarlos i operar amb ells.
interpretació geomètrica
Geomètricament, el trinomi x 2 + bx + c és una paràbola que obre cap amunt i té el vèrtex en el punt (-b / 2, -b 2 /4 + c) de el pla cartesià perquè x 2 + bx + c = (x + b / 2) 2 -b 2 /4 + c.
Aquesta paràbola talla a l'eix I en el punt (0, c) i a l'eix X en els punts (d 1, 0) i (d 2, 0); llavors, d 1 id 2 són les arrels de l'trinomi. Pot passar que el trinomi tingui una sola arrel d, en aquest cas l'únic tall amb l'eix X seria el (d, 0).
També podria passar que el trinomi no tingui cap arrel real, en aquest cas no tallaria a l'eix X en cap punt.
Per exemple, x 2 + 6x + 9 = (x + 3) 2 -9 + 9 = (x + 3) 2 és la paràbola amb vèrtex en (-3,0), la qual talla a l'eix Y en (0, 9) i a l'eix X en (-3,0).
Factorització de trinomis
Una eina molt útil a l'hora de treballar amb polinomis és la factorització, la qual consisteix en expressar un polinomi com a producte de factors. En general, donat un trinomi de la forma x 2 + bx + c, si aquest té dues arrels diferents d 1 id 2, es pot factoritzar com (xd 1) (xd 2).
Si té una sola arrel d es pot factoritzar com (xd) (xd) = (xd) 2, i si no té cap arrel real, es deixa igual; en aquest cas no admet una factorització com a producte de factors diferents a si mateix.
Això vol dir que, coneixent les arrels d'un trinomi de la forma ja establerta, es pot expressar fàcilment la seva factorització, i com ja es va esmentar anteriorment, aquestes arrels sempre es poden determinar fent servir la resolvent.
No obstant això, hi ha una quantitat significativa d'aquest tipus de trinomis que es poden factoritzar sense necessitat de conèixer prèviament les seves arrels, la qual cosa simplifica el treball.
Les arrels es poden determinar directament de la factorització sense necessitat d'utilitzar la fórmula de la resolvent; aquests són els polinomis de la forma x 2 + (a + b) x + ab. En aquest cas es té:
x 2 + (a + b) x + b = x 2 + ax + bx + a b = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).
D'aquí s'observa fàcilment que les arrels són -ai -b.
En altres paraules, donat un trinomi x 2 + bx + c, si hi ha dos nombres u i v tals que c = uv ib = u + v, llavors x 2 + bx + c = (x + u) (x + v).
És a dir, donat un trinomi x 2 + bx + c, primer es verifica si hi ha dos nombres tals que multiplicats donin el terme independent (c) i sumats (o restats, depenent de el cas), donin el terme que acompanya a la x (b).
No amb tots els trinomis d'aquesta manera es pot aplicar aquest mètode; en què no es pot, s'acudeix a la resolvent i s'aplica el que s'ha esmentat.
exemples
exemple 1
Per factoritzar el següent trinomi x 2 + 3x + 2 es procedeix com segueix:
S'han de trobar dos nombres tals que a l'sumar-los el resultat sigui 3, i que a l'multiplicar el resultat sigui 2.
Després de fer una inspecció es pot concloure que els números buscats són: 2 i 1. Per tant, x 2 + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).
exemple 2
Per factoritzar el trinomi x 2 -5x + 6 es busquen dos nombres la suma dels quals sigui -5 i el seu producte sigui 6. Els nombres que compleixen aquestes dues condicions són -3 i -2. Per tant, la factorització de l'trinomi donat és x 2 -5x + 6 = (x-3) (x-2).
referències
- Fonts, A. (2016). MATEMÀTIQUES BÀSIQUES. Una Introducció a l'Càlcul. Lulu.com.
- Garo, M. (2014). Mathematics: quadratic equations: How solve a quadratic equation. Marilú Garo.
- Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matemàtiques per a administració i economia. Pearson Educació.
- Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matemàtiques 1 SET. Llindar.
- Preciado, CT (2005). Curs de Matemàtiques 3r. Editorial Progrés.
- Rock, NM (2006). Àlgebra I Is Easy! So Easy. Team Rock Press.
- Sullivan, J. (2006). Àlgebra i Trigonometria. Pearson Educació.