TRIANGLE ISÒSCELES: CARACTERÍSTIQUES, FÓRMULA I ÀREA, CÀLCUL - MATEMÀTIQUES - 2026

Un triangle isòsceles és un polígon de tres costats, on dos d'ells tenen la mateixa mesura i el tercer costat una mesura diferent. Aquest últim banda és anomenat base. A causa d'aquesta característica se li va donar aquest nom, que en grec vol dir "cames iguals"

Els triangles són polígons considerats com els més simples en la geometria, perquè estan formats per tres costats, tres angles i tres vèrtexs. Són els que posseeixen el menor nombre de costats i angles respecte als altres polígons, però el seu ús és molt extens.

Característiques dels triangles isòsceles

El triangle isòsceles va ser classificat usant com a paràmetre la mesura dels seus costats, ja que dos dels seus costats són congruents (tenen la mateixa longitud).

Segons l'amplitud dels angles interns, els triangles isòsceles es classifiquen com:

• Triangle rectangle isòsceles: dos dels seus costats són iguals. Un dels seus angles és recte (90 ^o) i els altres són iguals (45 ^o cada un)
• Triangle obtusangle isòsceles: dos dels seus costats són iguals. Un dels seus angles és obtús (> 90 ^o).
• Triangle acutangle isòsceles: dos dels seus costats són iguals. Tots els seus angles són aguts (<90 ^o), on dos tenen la mateixa mida.

components

• La mitjana: és una recta que surt des del punt mitjà d'un costat i arriba a el vèrtex oposat. Les tres mitjanes concorren en un punt anomenat baricentre o centroide.
• La bisectriu: és una semirecta que divideix l'angle de cada vèrtexs en dos angles de la mateixa mida. Per això és conegut com a eix de simetria i aquest tipus de triangles posseeix només un.
• La mediatriu: és un segment perpendicular a la banda de el triangle, que té origen en la meitat d'aquest. Hi ha tres mediatices en un triangle i concorren en un punt anomenat circumcentre.
• L'altura: és la recta que va des del vèrtex fins al costat que és oposat i més aquesta recta és perpendicular a aquest costat. Tots els triangles tenen tres altures, les quals coincideixen en un punt anomenat ortocentre.

propietats

Els triangles isòsceles són definits o identificats perquè tenen diverses propietats que els representen, originades dels teoremes proposats per grans matemàtics:

angles interns

La suma dels angles interns és sempre igual a 180 ^o.

Suma dels costats

La suma de les mesures de dos costats sempre ha de ser major que la mesura de l'tercer costat, a + b> c.

costats congruents

Els triangles isòsceles tenen dos costats amb la mateixa mida o longitud; és a dir, són congruents i el tercer costat és diferent a aquests.

angles congruents

Els triangles isòsceles són coneguts com triangles isoángulos també, perquè tenen dos angles que posseeixen la mateixa mesura (congruents). Aquests se situen a la base de el triangle, de manera oposada als costats que tenen la mateixa longitud.

A causa d'això, es va generar el teorema que estableix que:

"Si un triangle té dos costats congruents, els angles oposats a aquests costats també seran congruents". Per tant,, si un triangle és isòsceles els angles de les seves bases són congruents.

exemple:

A la següent figura s'observa un triangle ABC. A l'traçar la bisectriu des del vèrtex de l'angle B fins a la base, el triangle és dividit en dos triangles iguals BDA i BDC:

D'aquesta manera l'angle de vèrtex B també va ser dividit en dos angles iguals. La bisectriu ara és el costat (BD) comú entre aquests dos nous triangles, mentre que els costats AB i BC són els costats congruents. Així es té el cas de congruència costat, angle, costat (LAL).

Amb això es demostra que els angles dels vèrtexs A i C tenen la mateixa mesura, així com també es pot demostrar que com els triangles BDA i BDC són congruents, els costats AD i DC també ho són.

Alçada, mitjana, mediatriu i bisectriu són coincidents

La recta que és traçada des del vèrtex oposat a la base fins al punt mig de la base de el triangle isòsceles, és alhora l'altura, la mitjana i la mediatriu, així com també la bisectriu relativa a l'angle oposat de la base.

Tots aquests segments coincideixen en un de sol que els representa.

exemple:

A la següent figura s'observa el triangle ABC amb un punt mitjà M que divideix la base en dos segments BM i CM.

A l'traçar un segment des del punt M fins al vèrtex oposat, per definició s'obté la mitjana AM, que és relativa a l'vèrtex A i a el costat BC.

Com el segment AM divideix el triangle ABC en dos triangles iguals AMB i AMC, vol dir que es tindrà el cas de congruència costat, angle, costat i per tant AM també serà la bisectriu de BAC.

Per això la bisectriu serà sempre igual a la mitjana i viceversa.

El segment AM forma angles que tenen la mateixa mida per als triangles AMB i AMC; és a dir, són suplementaris de tal manera que la mida de cada un serà:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180 ^o

2 _* Med. (AMC) = 180 ^o

Med. (AMC) = 180 ^o ÷ 2

Med. (AMC) = 90 ^o

Es pot saber que els angles formats pel segment AM pel que fa a la base de el triangle són rectes, el que indica que aquest segment és totalment perpendicular a la base.

Per tant representa a l'alçada i la mediatriu, sabent que M és el punt mitjà.

Per tant la recta AM:

• Representa a l'altura de BC.
• És mitjana.
• Està continguda dins de mediatriu de BC.
• És la bisectriu d'l'angle de vèrtex Â

alçades relatives

Les altures que són relatives als costats iguals, tenen la mateixa mesura també.

Com el triangle isòsceles tenen dos costats iguals, els seus dos altures respectives també seran iguals.

Ortocentre, baricentre, incentre i circumcentre coincidents

Com l'altura, mitjana, bisectriu i mediatriu relatives a la base, són representades alhora per un mateix segment, l'ortocentre, baricentre incentre i circumcentre seran punts alineats, és a dir, es trobessin en la mateixa recta:

Com calcular el perímetre?

El perímetre d'un polígon és calculat mitjançant la suma dels costats.

Com en aquest cas el triangle isòsceles té dos costats amb la mateixa mesura, el seu perímetre es calcula amb la següent fórmula:

P = 2 _* (costat a) + (costat b).

Com calcular l'altura?

L'altura és la recta perpendicular a la base, divideix el triangle en dues parts iguals a l'prolongar fins al vèrtex oposat.

L'alçada representa el catet oposat (a), la meitat de la base (b / 2) a l'catet adjacent i el costat "a" representa la hipotenusa.

Utilitzant el teorema de Pitàgores, es pot determinar el valor de l'altura:

a ² + b ² = c ²

on:

a ² = altura (h).

b ² = b / 2.

c ² = costat a.

Substituint aquests valors en el teorema de Pitàgores, i buidant l'alçada es té:

h ² + (b / 2) ² = a ²

h ² + b ² /4 = a ²

h ² = a ² - b ² /4

h = √ (a ² - b ² /4).

Si és conegut l'angle que formen els costats congruents, l'alçada pot ser calculada amb la fórmula següent:

Com calcular l'àrea?

L'àrea dels triangles sempre es calcula amb la mateixa fórmula, multiplicant la base per altura i dividend entre dues:

Hi ha casos on només es coneixen les mesures de dos costats de el triangle i l'angle que es forma entre ells. En aquest cas, per determinar l'àrea cal aplicar les raons trigonomètriques:

Com calcular la base de el triangle?

Com el triangle isòsceles té dos costats iguals, per determinar el valor de la seva base es necessita saber si més no la mesura de l'altura o un dels seus angles.

Coneixent l'alçada s'utilitza el teorema de Pitàgores:

a ² + b ² = c ²

on:

a ² = altura (h).

c ² = costat a.

b ² = b / 2, és desconeguda.

Aïllem b ² de la fórmula i hem de:

b ² = a ² - c ²

b = √ a ² - c ²

Com aquest valor correspon a la meitat de la base, s'ha de multiplicar per dos per obtenir la mesura completa de la base de el triangle isòsceles:

b = 2 _* (√ a ² - c ²)

En el cas que es conegui només el valor dels seus costats iguals i l'angle entre aquests, s'aplica la trigonometria, traçant una recta des del vèrtex fins a la base que divideixi el triangle isòsceles en dos triangles rectangles.

D'aquesta manera la meitat de la base és calculada amb:

També és possible que només siguin coneguts el valor de l'altura i angle de vèrtex que aquesta oposat a la base. En aquest cas per trigonometria es pot determinar la base:

exercicis

primer exercici

Trobar l'àrea d'el triangle isòsceles ABC, sabent que dos dels seus costats mesuren 10 cm i el tercer costat mesura 12 cm.

solució

Per trobar l'àrea de el triangle és necessari calcular l'altura usant la fórmula de l'àrea que es relaciona amb el teorema de Pitàgores, ja que no es coneix el valor de l'angle format entre els costats iguals.

Es tenen les següents dades de l'triangle isòsceles:

• Costats iguals (a) = 10 cm.
• Base (b) = 12 cm.

Se substitueixen els valors a la fórmula:

segon exercici

La longitud dels dos costats iguals d'un triangle isòsceles mesura 42 cm, la unió d'aquests costats forma un angle de 130 ^o. Determineu el valor de l'tercer costat, l'àrea d'aquest triangle i el perímetre.

solució

En aquest cas es coneixen les mesures dels costats i l'angle entre aquests.

Per conèixer el valor de la banda que falta, és a dir, la base d'aquest triangle, es traça una recta perpendicular a aquesta, dividint l'angle en dues parts iguals, un per a cada triangle rectangle que es forma.

• Costats iguals (a) = 42 cm.
• Angle (ɵ) = 130 ^o

Ara per trigonometria es calcula el valor de la meitat de la base, que correspon a la meitat de la hipotenusa:

Per calcular l'àrea és necessari saber l'altura d'aquest triangle que vaig poder ser calculada per trigonometria o pel teorema de Pitàgores, ara que ja es va determinar el valor de la base.

Per trigonometria serà:

El perímetre es calcula:

P = 2 _* (costat a) + (costat b).

P = 2 _* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

tercer exercici

Calcular els angles interns de el triangle isòsceles, sabent que l'angle de la base és  = 55 ^o

solució

Per trobar els dos angles que falten (Ê i Ô) cal recordar dues propietats dels triangles:

• La suma dels angles interns de tot triangle sempre serà = 180 ^o:

 + Ê + Ô = 180 ^o

• En un triangle isòsceles els angles de la base sempre són congruents, és a dir, tenen la mateixa mesura, per tant:

 = Ô

Ê = 55 ^o

Per a determinar el valor de l'angle Ê, es substitueixen els valors dels altres angles en la primera regla i es buida Ê:

55 ^o + 55 ^o + Ô = 180 ^o

110 ^o + Ô = 180 ^o

Ô = 180 ^o - 110 ^o

Ô = 70 ^o.

referències

1. Álvarez, I. (2003). Elements de geometria: amb nombrosos exercicis i geometria de el compàs. Universitat De Medellin.
2. Álvaro Rendón, AR (2004). Dibuix Tècnic: quadern d'activitats.
3. Àngel, AR (2007). Àlgebra Elemental. Pearson Educació.
4. Arthur Goodman, LH (1996). Àlgebra i trigonometria amb geometria analítica. Pearson Educació.
5. Baldor, A. (1941). Àlgebra. L'Havana: Cultura.
6. José Jiménez, LJ (2006). Matemàtiques 2.
7. Tuma, J. (1998). Engineering Mathematics Handbook. Wolfram MathWorld.