TRIANGLE ESCALÈ: CARACTERÍSTIQUES, FÓRMULA I ÀREES, CÀLCUL - MATEMÀTIQUES - 2025

Un triangle escalè és un polígon de tres costats, on tots tenen diferents mides o longituds; per aquesta raó és donat el nom de escalè, que en llatí significa escalada.

Els triangles són polígons considerats com els més simples en la geometria, perquè estan formats tres costats, tres angles i tres vèrtexs. En el cas de el triangle escalè, per tenir tots els costats diferents, implica que els seus tres angles també ho seran.

Característiques dels triangles escalens

Els triangles escalens són polígons simples pel fet que cap dels seus costats o angles té la mateixa mesura, a diferència dels triangles isòsceles i equilàters.

A causa de que tots els seus costats i angles posseeixen mesures diferents, aquests triangles són considerats polígons convexos irregulars.

Segons l'amplitud dels angles interns, els triangles escalens es classifiquen com:

• Triangle rectangle escalè: tots els seus costats són diferents. Un dels seus angles és recte (90 ^o) i els altres són aguts i amb diferents mides.
• Triangle obtusangle escalè: tots els seus costats són diferents i un dels seus angles és obtús (> 90 ^o).
• Triangle acutangle escalè: tots els seus costats són diferents. Tots els seus angles són aguts (<90 ^o), amb mesures diferents.

Una altra característica dels triangles escalens és que a causa de la incongruència dels seus costats i angles, no posseeix eix de simetria.

components

La mitjana: és una recta que surt des del punt mitjà d'un costat i arriba a el vèrtex oposat. Les tres mitjanes concorren en un punt anomenat baricentre o centroide.

La bisectriu: és una semirecta que divideix cada angle en dos angles de la mateixa mida. Les bisectrius d'un triangle concorren en punt anomenat incentre.

La mediatriu: és un segment perpendicular a la banda de el triangle, que té origen en la meitat d'aquest. Hi ha tres mediatrius en un triangle i concorren en un punt anomenat circumcentre.

L'altura: és la recta que va des del vèrtex fins al costat que és oposat i més aquesta recta és perpendicular a aquest costat. Tots els triangles tenen tres altures que coincideixen en un punt anomenat ortocentre.

propietats

Els triangles escalens són definits o identificats perquè tenen diverses propietats que els representen, originades dels teoremes proposats per grans matemàtics. Elles són:

angles interns

La suma dels angles interns és sempre igual a 180 ^o.

Suma dels costats

La suma de les mesures de dos costats sempre ha de ser major que la mesura de l'tercer costat, a + b> c.

costats incongruents

Tots els costats dels triangles escalens tenen diferents mides o longituds; és a dir, són incongruents.

angles incongruents

Ja que tots els costats de el triangle escalè són diferents, els seus angles també ho seran. No obstant això, la suma dels angles interns sempre serà igual a 180º, i en alguns casos, un dels seus angles pot ser obtús o recte, mentre que en altres tots els seus angles seran aguts.

Alçada, mitjana, mediatriu i bisectriu no són coincidents

Com tot triangle, el escalè té diversos segments de rectes que el componen, com el són: alçada, mitjana, mediatriu i bisectriu.

A causa de la particularitat dels seus costats, en aquest tipus de triangle cap d'aquestes rectes van coincidir en una sola.

Ortocentre, baricentre, incentre i circumcentre no són coincidents

Com l'altura, mitjana, bisectriu i mediatriu són representades per diferents segments de rectes, en un triangle escalè els punts de trobada -el ortocentre, baricentre incentre i circuncentro-, es trobaran en diferents punts (no coincideixen).

Depenent de si el triangle és acutangle, rectangle o escalè, l'ortocentre té diferents ubicacions:

a. Si el triangle és acutangle, l'ortocentre estarà a l'interior de l'triangle.

b. Si el triangle és rectangle, l'ortocentre coincidirà amb el vèrtex de la banda recte.

c. Si el triangle és obtusangle, l'ortocentre estarà a l'exterior de l'triangle.

alçades relatives

Les altures són relatives als costats.

En el cas de el triangle escalè hores d'ara tindran diferents mides. Tot triangle té tres altures relatives i per calcular-les és usada la fórmula d'Heró.

Com calcular el perímetre?

El perímetre d'un polígon és calculat mitjançant la suma dels costats.

Com en aquest cas el triangle escalè té tots els seus costats amb diferent mesura, el seu perímetre serà:

P = costat a + costat b + costat c.

Com calcular l'àrea?

L'àrea dels triangles sempre es calcula amb la mateixa fórmula, multiplicant la base per altura i dividint entre dos:

Àrea = (base _* h) ÷ 2

En alguns casos l'altura de el triangle escalè no és coneguda, però hi ha una fórmula que va ser proposada pel matemàtic Heró, per calcular l'àrea coneixent la mesura dels tres costats d'un triangle.

on:

• a, bic, representen als costats de el triangle.
• sp, correspon a l'semiperímetre de el triangle, és a dir, la meitat de l'perímetre:

sp = (a + b + c) ÷ 2

En el cas que només es tingui la mesura de dos dels costats de el triangle i l'angle que es forma entre aquests, l'àrea pot ser calculada aplicant les raons trigonomètriques. Així s'ha de:

Àrea = (costat _* h) ÷ 2

On l'altura (h) és el producte d'un costat per si de l'angle oposat. Per exemple, per a cada costat, l'àrea serà:

• Àrea = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• Àrea = (a _* c _* sin B) ÷ 2.
• Àrea = (a _* b _* sin C) ÷ 2

Com calcular l'altura?

Com tots els costats de el triangle escalè són diferents, no és possible calcular l'altura amb el teorema de Pitàgores.

A partir de la fórmula d'Heró, que es basa en les mesures dels tres costats d'un triangle, pot ser calculada l'àrea.

L'altura pot ser buidada de la fórmula general de l'àrea:

El costat és substituït per la mesura de la banda a, bo c.

Una altra forma de calcular l'altura quan es coneix el valor d'un dels angles, és aplicant les raons trigonomètriques, on l'altura va representar un catet de el triangle.

Per exemple, quan es coneix l'angle oposat a l'altura, aquesta serà determinada pel si:

Com calcular els costats?

Quan es té la mesura de dos costats i l'angle oposat a aquests, és possible determinar el tercer costat aplicant el teorema dels cosinus.

Per exemple, en un triangle AB, es traça l'altura relativa a l'segment AC. D'aquesta manera el triangle és dividit en dos triangles rectangles.

Per calcular el costat c (segment AB), s'aplica el teorema de Pitàgores per a cada triangle:

• Per al triangle blau s'ha de:

c ² = h ² + m ²

Com m = b - n, se substitueix:

c ² = h ² + b ² (b - n) ²

c ² = h ² + b ² - 2bn + n ².

• Per al triangle rosa s'ha de:

h ² = a ² - n ²

Se substitueix en l'equació anterior:

c ² = a ² - n ² + b ² - 2bn + n ²

c ² = a ² + b ² - 2bn.

Sabent que n = a _* cos C, se substitueix en l'equació anterior i s'obté el valor de la banda c:

c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cs C.

Per la Llei dels cosinus, els costats poden ser calculats com:

• a ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cs A.
• b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cs B.
• c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cs C.

Hi ha casos on no es coneixen les mesures dels costats de el triangle, sinó la seva alçada i els angles que es forma en els vèrtexs. Per determinar l'àrea en aquests casos cal aplicar les raons trigonomètriques.

Sabent l'angle d'un dels seus vèrtexs, s'identifiquen els catets i s'utilitza la raó trigonomètrica que correspongui:

Per exemple, el catet AB serà oposat per a l'angle C, però adjacent a l'angle A. En funció de la banda o catet corresponent a l'altura, es buida l'altre costat per obtenir el valor d'aquest.

exercicis

primer exercici

Calcular l'àrea i una alçada de el triangle escalè ABC, sabent que els seus costats són:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

solució

Com a dada són donades les mesures dels tres costats d'el triangle escalè.

A causa de que no es té el valor de l'altura, es pot determinar l'àrea aplicant la fórmula d'Heró.

Primer es calcula el semiperímetre:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Ara es substitueixen els valors a la fórmula d'Heró:

Coneixent l'àrea pot ser calculada l'altura relativa a la banda b. A partir de la fórmula general, despejándola es té:

Àrea = (costat _* h) ÷ 2

46, 47 cm ² = (12 cm _* h) ÷ 2

h = (2 _* 46,47 cm ²) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm ² ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

segon exercici

Donat el triangle escalè ABC, les mesures són:

• Segment AB = 25 m.
• Segment BC = 15 m.

En el vèrtex B es forma un angle de 50º. Calcular l'altura relativa a la banda c, perímetre i àrea d'aquest triangle.

solució

En aquest cas es tenen les mesures de dos costats. Per determinar l'altura és necessari calcular la mesura de el tercer costat.

Com és donat l'angle oposat als costats donats, és possible aplicar la llei dels cosinus per determinar la mesura de la banda AC (b):

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cs B

on:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50 ^o.

Se substitueixen les dades:

b ² = (15) ^febrer + (25) ^febrer - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

b ² = (225) + (625) - (482,025)

b ² = 367,985

b = √367,985

b = 19,18 m.

Com ja es té el valor dels tres costats, es calcula el perímetre d'aquest triangle:

P = costat a + costat b + costat c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Ara és possible determinar l'àrea aplicant la fórmula d'Heró, però primer s'ha de calcular el semiperímetre:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Se substitueixen les mesures dels costats i el semiperímetre en la fórmula d'Heró:

Finalment coneixent l'àrea pot ser calculada l'altura relativa a la banda c. A partir de la fórmula general, despejándola s'ha de:

Àrea = (costat _* h) ÷ 2

143,63 m ² = (25 m _* h) ÷ 2

h = (2 _* 143,63 m ²) ÷ 25 m

h = 287,3 m ² ÷ 25 m

h = 11,5 m.

tercer exercici

En el triangle escalè ABC el costat b mesura 40 cm, el costat c mesura 22 cm, i en el vèrtex A, es forma un angle de 90 ^o. Calcular l'àrea d'aquest triangle.

solució

En aquest cas són ateses les mesures de dos costats de el triangle escalè ABC, així com l'angle que es forma en el vèrtex A.

Per determinar l'àrea no cal calcular la mesura de la banda a, ja que a través de les raons trigonomètriques s'utilitza l'angle per trobar-la.

Com es coneix l'angle oposat a l'altura, aquesta serà determinada pel producte d'un costat i el si de l'angle.

Substituint a la fórmula de l'àrea s'ha de:

• Àrea = (costat _* h) ÷ 2
• h = c _* sin A

Àrea = (b _* c _* sin A) ÷ 2

Àrea = (40 cm _* 22 cm _* sin 90) ÷ 2

Àrea = (40 cm _* 22 cm _* 1) ÷ 2

Àrea = 880 cm ² ÷ 2

Àrea = 440 cm ².

referències

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Dibuix Tècnic: quadern d'activitats.
2. Àngel Ruiz, HB (2006). Geometries. Tecnologica de CR,.
3. Àngel, AR (2007). Àlgebra Elemental. Pearson Educació,.
4. Baldor, A. (1941). Àlgebra. L'Havana: Cultura.
5. Barbosa, JL (2006). Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro,.
6. Coxeter, H. (1971). Fonaments de Geometria. Mèxic: Limusa-Wiley.
7. Daniel C. Alexander, GM (2014). Elementary Geometry for College Students. Cengage Learning.
8. Harpe, P. d. (2000). Topics in Geometric Group Theory. University of Chicago Press.